MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Se consideră mulțimea G={x∈R∣x>−1}G = \{ x \in \mathbb{R} | x > -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. a) Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup abelian. b) Determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element. c) Rezolvați în GG ecuația x∗x=3x * x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se demonstrează asociativitatea și comutativitatea operației. Asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x*y)*z = (x+y+xy)*z = x+y+xy+z + (x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz) = x+y+z+yz + x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz, deci sunt egale. Comutativitatea: x∗y=x+y+xy=y+x+yx=y∗xx*y = x+y+xy = y+x+yx = y*x.
22 puncte
Se verifică închiderea: pentru x,y>−1x,y > -1, x∗y=(x+1)(y+1)−1>−1x*y = (x+1)(y+1)-1 > -1, deci x∗y∈Gx*y \in G.
32 puncte
Se determină elementul neutru: din x∗e=xx*e = x, rezultă e(1+x)=0e(1+x)=0 pentru orice x∈Gx \in G, deci e=0e=0 (deoarece 1+x≠01+x \neq 0), iar 0∈G0 \in G.
42 puncte
Se determină simetricul: pentru x∈Gx \in G, x′x' satisface x∗x′=0x*x' = 0. Din x+x′+xx′=0x+x'+xx' = 0, obținem x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}, care este în GG deoarece x>−1x > -1 implică 1+x>01+x > 0.
51 punct
Se rezolvă ecuația x∗x=3x*x=3: x∗x=x+x+xx=2x+x2x*x = x+x+xx = 2x+x^2, deci x2+2x=3x^2+2x=3, adică x2+2x−3=0x^2+2x-3=0, cu soluțiile x=1x=1 și x=−3x=-3. Deoarece x∈Gx \in G înseamnă x>−1x > -1, doar x=1x=1 este soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.