MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și legea de compoziție (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad+b). Să se arate că (G,∗)(G,\ast) este grup, să se determine elementul neutru și să se calculeze simetricul unui element (a,b)∈G(a,b) \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea proprietăților de grup: Închiderea: Pentru (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)∈G(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad+b) \in G deoarece ac≠0ac \neq 0. Asociativitatea: ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b) \ast (c,d)) \ast (e,f) = (ac, ad+b) \ast (e,f) = (ace, acf + ad+b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b) \ast ((c,d) \ast (e,f)) = (a,b) \ast (ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf + ad+b), deci asociativă.
23 puncte
Determinarea elementului neutru: Căutăm (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) \ast (e_1, e_2) = (a,b). Din (ae1,ae2+b)=(a,b)(ae_1, ae_2+b) = (a,b), avem ae1=a  ⟹  e1=1ae_1 = a \implies e_1 = 1 (pentru a≠0a \neq 0) și ae2+b=b  ⟹  ae2=0  ⟹  e2=0ae_2+b = b \implies ae_2 = 0 \implies e_2 = 0. Verificăm: (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0) \ast (a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b + 0) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
33 puncte
Calculul simetricului: Pentru (a,b)∈G(a,b) \in G, căutăm (a′,b′)(a',b') cu (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b) \ast (a',b') = (1,0). Din (aa′,ab′+b)=(1,0)(aa', ab'+b) = (1,0), avem aa′=1  ⟹  a′=1aaa' = 1 \implies a' = \frac{1}{a} și ab′+b=0  ⟹  ab′=−b  ⟹  b′=−baab'+b = 0 \implies ab' = -b \implies b' = -\frac{b}{a}. Verificăm: (a,b)∗(1a,−ba)=(a⋅1a,a⋅(−ba)+b)=(1,−b+b)=(1,0)(a,b) \ast (\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) = (a \cdot \frac{1}{a}, a \cdot (-\frac{b}{a}) + b) = (1, -b + b) = (1,0), deci simetricul este (1a,−ba)(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.