MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={x∈R∣x>−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este un grup comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru x,y∈Mx, y \in M (adică x>−1x > -1 și y>−1y > -1), avem x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy. Trebuie să arătăm că x∘y>−1x \circ y > -1. Cum x>−1x > -1 și y>−1y > -1, avem x+1>0x+1 > 0 și y+1>0y+1 > 0, deci (x+1)(y+1)>0⇒xy+x+y+1>0⇒x+y+xy>−1(x+1)(y+1) > 0 \Rightarrow xy + x + y + 1 > 0 \Rightarrow x + y + xy > -1, deci x∘y∈Mx \circ y \in M.
23 puncte
Demonstrarea asociativității: pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, calculăm (x∘y)∘z=(x+y+xy)∘z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y + xy) \circ z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∘(y∘z)=x∘(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Se observă că (x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z), deci operația este asociativă.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: căutăm e∈Me \in M astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Mx \in M. Avem x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1 + x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice x>−1x > -1, trebuie e=0e = 0. Verificăm: x∘0=x+0+x⋅0=xx \circ 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x și 0∘x=0+x+0⋅x=x0 \circ x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci elementul neutru este 00.
42 puncte
Găsirea inversului: pentru x∈Mx \in M, căutăm x′∈Mx' \in M astfel încât x∘x′=0x \circ x' = 0. Avem x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1 + x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1+x}. Trebuie să verificăm că x′>−1x' > -1. Cum x>−1x > -1, avem 1+x>01+x > 0, deci x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}. Pentru x>−1x > -1, x′>−1x' > -1 deoarece −x1+x>−1⇔−x>−1−x⇔0>−1\frac{-x}{1+x} > -1 \Leftrightarrow -x > -1 - x \Leftrightarrow 0 > -1, adevărat. Deci inversul există și este x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}.
51 punct
Comutativitatea: pentru orice x,y∈Mx, y \in M, avem x∘y=x+y+xy=y+x+yx=y∘xx \circ y = x + y + xy = y + x + yx = y \circ x, deci operația este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.