MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ⋆\star definită prin x⋆y=xy−x−y+2x \star y = xy - x - y + 2 pentru orice x,y∈Gx, y \in G. a) Arătați că (G,⋆)(G, \star) este un grup. b) Rezolvați ecuația x⋆x⋆x=8x \star x \star x = 8 în GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că pentru orice x,y∈Gx, y \in G, x⋆y∈Gx \star y \in G, adică x⋆y≠1x \star y \neq 1, dearece x⋆y=xy−x−y+2=(x−1)(y−1)+1x \star y = xy - x - y + 2 = (x-1)(y-1) + 1 și x,y≠1x, y \neq 1.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea calculând (x⋆y)⋆z(x \star y) \star z și x⋆(y⋆z)x \star (y \star z) și arătând că sunt egale cu xyz−xy−xz−yz+x+y+z−2xyz - xy - xz - yz + x + y + z - 2.
32 puncte
Găsiți elementul neutru ee rezolvând x⋆e=xx \star e = x, obținând e=2e = 2 și verificați că 2⋆x=x2 \star x = x.
42 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, găsiți inversul x−1x^{-1} rezolvând x⋆x−1=2x \star x^{-1} = 2, obținând x−1=xx−1x^{-1} = \frac{x}{x-1} și verificați aparținerea la GG.
51 punct
Pentru punctul b, folosiți asociativitatea pentru a scrie x⋆x⋆x=(x⋆x)⋆xx \star x \star x = (x \star x) \star x, calculați x⋆x=x2−2x+2x \star x = x^2 - 2x + 2, apoi rezolvați ecuația (x2−2x+2)⋆x=8(x^2 - 2x + 2) \star x = 8, obținând x=3x = 3 sau x=−2x = -2 și verificați că ambele sunt în GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.