MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația * definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). a) Arătați că (G, *) este grup. b) Determinați soluțiile sistemului: [ \begin{cases} (x,y) * (2,1) = (4,5) \ (3,z) * (x,y) = (6,7) \end{cases} ]

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru orice (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, avem a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci ac≠0ac \neq 0, iar ad+bad+b este număr real, deci (ac,ad+b)∈G(ac, ad+b) \in G, operația este închisă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad+b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf+ad+b), deci sunt egale.
32 puncte
Căutăm elementul neutru (e1,e2)(e_1,e_2): din (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b)*(e_1,e_2) = (a,b), avem ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b, deci pentru a≠0a \neq 0, e1=1e_1 = 1 și e2=0e_2 = 0. Verificăm (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0)*(a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b + 0) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
42 puncte
Pentru un element (a,b)(a,b), căutăm inversul (a′,b′)(a',b'): din (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b)*(a',b') = (1,0), avem aa′=1aa' = 1 și ab′+b=0ab' + b = 0, deci a′=1aa' = \frac{1}{a} și b′=−bab' = -\frac{b}{a}, care există deoarece a≠0a \neq 0.
51 punct
Rezolvăm sistemul: din prima ecuație, (x,y)∗(2,1)=(2x,x+y)=(4,5)(x,y)*(2,1) = (2x, x+y) = (4,5), deci 2x=42x = 4 și x+y=5x+y = 5, de unde x=2x=2, y=3y=3. Din a doua ecuație, (3,z)∗(x,y)=(3x,3y+z)=(6,7)(3,z)*(x,y) = (3x, 3y+z) = (6,7), cu x=2x=2, avem 3⋅2=63 \cdot 2 = 6, și 3⋅3+z=9+z=73 \cdot 3 + z = 9 + z = 7, deci z=−2z = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.