MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ⋆\star definită pe R\mathbb{R} prin x⋆y=ax+by+cx \star y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine constantele a,b,ca, b, c astfel încât ⋆\star să fie comutativă, asociativă și să admită element neutru e=1e = 1. Apoi, folosind valorile găsite, rezolvați ecuația (x⋆2)⋆3=4(x \star 2) \star 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Impunerea condițiilor de comutativitate și asociativitate. Din comutativitate, x⋆y=y⋆xx \star y = y \star x implică ax+by+c=ay+bx+cax + by + c = ay + bx + c pentru orice x,yx, y, deci a=ba = b. Din asociativitate, (x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)(x \star y) \star z = x \star (y \star z), calculând ambele părți: (ax+by+c)⋆z=a(ax+by+c)+bz+c(ax + by + c) \star z = a(ax + by + c) + bz + c și x⋆(ay+bz+c)=ax+b(ay+bz+c)+cx \star (ay + bz + c) = ax + b(ay + bz + c) + c, egalând coeficienții pentru x,y,zx, y, z obținem a2=aa^2 = a, ab=b2ab = b^2, și condiții pentru cc; cu a=ba = b, rezultă a=b=1a = b = 1 sau a=b=0a = b = 0.
23 puncte
Utilizarea condiției elementului neutru. Pentru e=1e = 1, avem x⋆1=xx \star 1 = x pentru orice xx, adică ax+b⋅1+c=xax + b \cdot 1 + c = x. Înlocuind a=ba = b și condițiile din asociativitate, găsim că singura soluție care satisface toate condițiile este a=b=1a = b = 1 și c=−1c = -1 (verificând 1⋆x=x1 \star x = x).
33 puncte
Rezolvarea ecuației. Cu a=1a = 1, b=1b = 1, c=−1c = -1, legea devine x⋆y=x+y−1x \star y = x + y - 1. Calculăm (x⋆2)⋆3=((x+2−1)⋆3)=(x+1)⋆3=(x+1)+3−1=x+3(x \star 2) \star 3 = ((x + 2 - 1) \star 3) = (x + 1) \star 3 = (x + 1) + 3 - 1 = x + 3, punem egal cu 4, deci x+3=4x + 3 = 4, rezultă x=1x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.