MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} se definește legea de compoziție a∗b=a+b−aba \ast b = a + b - ab. a) Arătați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru al acestei legi, dacă există. c) Pentru fiecare element a∈Ra \in \mathbb{R}, găsiți simetricul său față de această lege, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea calculând (a∗b)∗c(a \ast b) \ast c și a∗(b∗c)a \ast (b \ast c). (a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=(a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a \ast b) \ast c = (a + b - ab) \ast c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c = a + b + c - ab - ac - bc + abc. a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca \ast (b \ast c) = a \ast (b + c - bc) = a + (b + c - bc) - a(b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc. Cele două expresii sunt identice, deci legea este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât a∗e=aa \ast e = a pentru orice aa. Din a∗e=a+e−ae=aa \ast e = a + e - ae = a, obținem e−ae=0e - ae = 0, adică e(1−a)=0e(1 - a) = 0 pentru orice aa, deci e=0e = 0. Verificăm: a∗0=a+0−a⋅0=aa \ast 0 = a + 0 - a \cdot 0 = a, deci 00 este element neutru.
34 puncte
Pentru un element aa, simetricul a′a' satisface a∗a′=0a \ast a' = 0. Avem a∗a′=a+a′−aa′=0a \ast a' = a + a' - aa' = 0. Rezolvând, a′(1−a)=−aa'(1 - a) = -a. Dacă a≠1a \neq 1, atunci a′=−a1−aa' = \frac{-a}{1 - a}. Dacă a=1a = 1, ecuația devine 1+a′−a′=1=01 + a' - a' = 1 = 0, fals, deci a=1a = 1 nu are simetric. Astfel, toate elementele a≠1a \neq 1 sunt simetrizabile cu simetricul −a1−a\frac{-a}{1 - a}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.