MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se consideră legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Aflați inversul unui element oarecare a∈Ma \in M. d) Rezolvați în MM ecuația x∗(x∗2)=3x * (x * 2) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz=x∗(y∗z)(x*y)*z = (x+y-xy)*z = x+y-xy + z - (x+y-xy)z = x+y+z -xy -xz -yz +xyz = x*(y*z).
23 puncte
Elementul neutru ee: din x∗e=xx*e = x avem x+e−xe=xx+e-xe = x, deci e(1−x)=0e(1-x)=0 pentru orice xx, de unde e=0e=0. Se verifică că 0∗x=x∗0=x0*x = x*0 = x.
32 puncte
Inversul lui a∈Ma \in M: fie a′a' astfel încât a∗a′=0a*a' = 0. Atunci a+a′−aa′=0a+a' -aa' =0, deci a′(1−a)=−aa'(1-a) = -a, iar a≠1a \neq 1, deci a′=aa−1a' = \frac{a}{a-1}.
43 puncte
Rezolvarea ecuației: x∗2=x+2−2x=2−xx * 2 = x+2-2x=2-x. Atunci x∗(2−x)=x+(2−x)−x(2−x)=2−2x+x2=x2−2x+2x*(2-x) = x + (2-x) - x(2-x) = 2 -2x + x^2 = x^2 -2x +2. Ecuația x2−2x+2=3x^2 -2x +2 =3 dă x2−2x−1=0x^2 -2x -1=0, cu soluțiile x=1±2x=1\pm\sqrt{2}. Deoarece 1∉M1 \notin M, ambele soluții sunt valabile în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.