MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−y+2x \ast y = xy - x - y + 2. Să se demonstreze că (M,∗)(M, \ast) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că operația este bine definită pe MM: pentru orice x,y∈Mx, y \in M, x∗y=xy−x−y+2x \ast y = xy - x - y + 2. Trebuie arătat că x∗y≠1x \ast y \neq 1. Presupunem prin absurd că x∗y=1x \ast y = 1, atunci xy−x−y+2=1⇒xy−x−y+1=0⇒(x−1)(y−1)=0xy - x - y + 2 = 1 \Rightarrow xy - x - y + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, ceea ce contrazice x,y∈Mx, y \in M. Așadar, x∗y∈Mx \ast y \in M.
23 puncte
Asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz+z−xy+x+y(x \ast y) \ast z = (xy - x - y + 2) \ast z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz + z - xy + x + y. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz+x−yz+y+zx \ast (y \ast z) = x \ast (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz + x - yz + y + z. Se observă că expresiile sunt egale, deci legea este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm e∈Me \in M astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice x∈Mx \in M. Avem x∗e=xe−x−e+2=x⇒xe−x−e+2=x⇒xe−e+2=2x⇒e(x−1)=2(x−1)x \ast e = xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e + 2 = 2x \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, putem împărți prin x−1x-1 și obținem e=2e = 2. Verificăm că 2∗x=2x−2−x+2=x2 \ast x = 2x - 2 - x + 2 = x, deci elementul neutru este e=2e = 2.
42 puncte
Comutativitatea și elementele simetrice: pentru comutativitate, x∗y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∗xx \ast y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y \ast x, deci legea este comutativă. Pentru simetric, fie x∈Mx \in M, căutăm x′∈Mx' \in M astfel încât x∗x′=2x \ast x' = 2. Avem xx′−x−x′+2=2⇒xx′−x−x′=0⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1x x' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow x x' - x - x' = 0 \Rightarrow x'(x-1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, deoarece x≠1x \neq 1. Verificăm că x′∈Mx' \in M, adică xx−1≠1\frac{x}{x-1} \neq 1, ceea este adevărat pentru x≠1x \neq 1. Așadar, (M,∗)(M, \ast) este grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.