MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∗y=x+y1−xyx \ast y = \frac{x + y}{1 - xy}. Studiați această lege: verificați dacă este asociativă și comutativă, determinați elementul neutru (dacă există) și găsiți simetricul fiecărui element x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: x∗y=x+y1−xy=y+x1−yx=y∗xx \ast y = \frac{x+y}{1-xy} = \frac{y+x}{1-yx} = y \ast x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: calculăm (x∗y)∗z(x \ast y) \ast z și x∗(y∗z)x \ast (y \ast z) și arătăm că sunt egale, folosind algebra; de exemplu, (x∗y)∗z=x+y1−xy+z1−x+y1−xy⋅z=x+y+z−xyz1−xy−xz−yz(x \ast y) \ast z = \frac{\frac{x+y}{1-xy} + z}{1 - \frac{x+y}{1-xy} \cdot z} = \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-xz-yz} și similar pentru x∗(y∗z)x \ast (y \ast z), obținând același rezultat, deci legea este asociativă.
32 puncte
Determinarea elementului neutru: rezolvăm x∗e=xx \ast e = x pentru ee, adică x+e1−xe=x⇒x+e=x(1−xe)⇒e=0\frac{x+e}{1-xe} = x \Rightarrow x+e = x(1-xe) \Rightarrow e = 0; verificăm că 0∗x=x0 \ast x = x, deci elementul neutru este 00.
43 puncte
Găsirea simetricului: pentru un element xx, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x \ast x' = 0; rezolvăm x+x′1−xx′=0⇒x+x′=0⇒x′=−x\frac{x+x'}{1-xx'} = 0 \Rightarrow x+x' = 0 \Rightarrow x' = -x; verificăm că −x∈R∖{1}-x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} dacă x≠1x \neq 1, deci simetricul lui xx este −x-x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.