MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Studiați proprietățile acestei legi de compoziție: comutativitatea, asociativitatea, elementul neutru și simetrizabilitatea elementelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, avem x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx * y = x + y - xy = y + x - yx = y * x, deci operația este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}, calculăm (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz. Se observă că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee: pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, avem x∗e=xx * e = x, adică x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1 - x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e = 0. Verificăm: x∗0=x+0−x⋅0=xx * 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x și 0∗x=0+x−0⋅x=x0 * x = 0 + x - 0 \cdot x = x, deci elementul neutru este 00.
43 puncte
Studiem simetrizabilitatea: un element x∈Rx \in \mathbb{R} are simetric x′x' dacă x∗x′=0x * x' = 0, adică x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=−x1−xx + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1 - x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1 - x}, pentru x≠1x \neq 1. Pentru x=1x = 1, ecuația devine 1+x′−x′=0⇒1=01 + x' - x' = 0 \Rightarrow 1 = 0, imposibil, deci elementul 11 nu este simetrizabil. Astfel, toate elementele x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} sunt simetrizabile cu simetricul x′=−x1−xx' = \frac{-x}{1-x}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.