MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G=(0,∞)G = (0, \infty) se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xyx \circ y = \sqrt{xy} pentru orice x,y∈Gx, y \in G. a) Arătați că ∘\circ este comutativă și asociativă. b) Determinați dacă există element neutru și, în caz afirmativ, găsiți-l. c) Pentru elementele care au invers, determinați inversul unui element x∈Gx \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: x∘y=xy=yx=y∘xx \circ y = \sqrt{xy} = \sqrt{yx} = y \circ x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Asociativitatea: Se calculează (x∘y)∘z=xy⋅z=xy⋅z24(x \circ y) \circ z = \sqrt{\sqrt{xy} \cdot z} = \sqrt[4]{xy \cdot z^2} și x∘(y∘z)=x⋅yz=x2⋅yz4x \circ (y \circ z) = \sqrt{x \cdot \sqrt{yz}} = \sqrt[4]{x^2 \cdot yz}. Acestea sunt egale doar dacă se verifică xyz24=x2yz4⇒xyz2=x2yz⇒xz=x2⇒x(z−x)=0\sqrt[4]{xy z^2} = \sqrt[4]{x^2 yz} \Rightarrow xy z^2 = x^2 yz \Rightarrow xz = x^2 \Rightarrow x(z - x) = 0, ceea ce nu este întotdeauna adevărat. Prin urmare, se recalculează corect: (x∘y)∘z=(xy)z=zxy=(zxy)1/2(x \circ y) \circ z = \sqrt{(\sqrt{xy})z} = \sqrt{z\sqrt{xy}} = (z\sqrt{xy})^{1/2} și x∘(y∘z)=xyz=(xyz)1/2x \circ (y \circ z) = \sqrt{x\sqrt{yz}} = (x\sqrt{yz})^{1/2}. Pentru a fi asociativă, trebuie (zxy)1/2=(xyz)1/2⇒zxy=xyz⇒z2xy=x2yz⇒xyz(z−x)=0(z\sqrt{xy})^{1/2} = (x\sqrt{yz})^{1/2} \Rightarrow z\sqrt{xy} = x\sqrt{yz} \Rightarrow z^2 xy = x^2 y z \Rightarrow xyz(z - x) = 0. Deoarece x,y,z>0x,y,z > 0, aceasta implică z=xz = x, care nu este adevărat pentru orice x,zx,z. Astfel, legea nu este asociativă. Corecție: Eroare în calcul. Să calculăm (x∘y)∘z=xy⋅z=zxy=(z(xy)1/2)1/2=z1/2(xy)1/4=z1/2x1/4y1/4(x \circ y) \circ z = \sqrt{\sqrt{xy} \cdot z} = \sqrt{z \sqrt{xy}} = (z (xy)^{1/2})^{1/2} = z^{1/2} (xy)^{1/4} = z^{1/2} x^{1/4} y^{1/4} și x∘(y∘z)=x⋅yz=x(yz)1/2=(x(yz)1/2)1/2=x1/2(yz)1/4=x1/2y1/4z1/4x \circ (y \circ z) = \sqrt{x \cdot \sqrt{yz}} = \sqrt{x (yz)^{1/2}} = (x (yz)^{1/2})^{1/2} = x^{1/2} (yz)^{1/4} = x^{1/2} y^{1/4} z^{1/4}. Acestea sunt egale doar dacă z1/2x1/4y1/4=x1/2y1/4z1/4⇒z1/2x1/4=x1/2z1/4⇒z1/4x1/4=x1/2⇒(zx)1/4=x1/2⇒zx=x2⇒z=xz^{1/2} x^{1/4} y^{1/4} = x^{1/2} y^{1/4} z^{1/4} \Rightarrow z^{1/2} x^{1/4} = x^{1/2} z^{1/4} \Rightarrow z^{1/4} x^{1/4} = x^{1/2} \Rightarrow (zx)^{1/4} = x^{1/2} \Rightarrow zx = x^2 \Rightarrow z = x, ceea ce nu este general. Deci, legea nu este asociativă.
33 puncte
Element neutru: Se caută e∈Ge \in G astfel încât x∘e=xx \circ e = x. Rezultă xe=x⇒xe=x2⇒e=x\sqrt{xe} = x \Rightarrow xe = x^2 \Rightarrow e = x, care depinde de xx, deci nu există element neutru unic. În schimb, pentru orice xx, x∘x=x⋅x=xx \circ x = \sqrt{x \cdot x} = x, dar nu există ee fix. Astfel, nu există element neutru.
42 puncte
Inversul: Deoarece nu există element neutru, nu se pot defini inversi. Dacă s-ar presupune un element neutru ee, atunci inversul x′x' ar satisface x∘x′=ex \circ x' = e, dar cum nu există ee, nu are sens. Deci, niciun element nu are invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.