MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=ax+y+bx \ast y = ax + y + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} sunt parametri reali. Să se determine valorile lui aa și bb pentru care legea este asociativă și admite element neutru. Pentru aceste valori, să se calculeze (1∗2)∗3(1 \ast 2) \ast 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrierea condiției de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z) pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. Calculând, obținem a(ax+y+b)+z+b=ax+(ay+z+b)+ba(ax + y + b) + z + b = ax + (ay + z + b) + b, care conduce la a2x+ay+ab+z+b=ax+ay+z+2ba^2 x + a y + a b + z + b = a x + a y + z + 2b. Simplificând, se ajunge la a2x+ab=ax+ba^2 x + a b = a x + b. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie a2=aa^2 = a și ab=ba b = b. De aici, a=0a = 0 sau a=1a = 1. Dacă a=0a = 0, din ab=ba b = b avem b=0b = 0. Dacă a=1a = 1, atunci b=bb = b, deci bb poate fi orice număr real.
23 puncte
Condiția pentru elementul neutru: există e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x∗e=e∗x=xx \ast e = e \ast x = x pentru orice xx. Pentru a=0a = 0 și b=0b = 0, legea devine x∗y=yx \ast y = y, care nu are element neutru deoarece x∗e=ex \ast e = e nu este egal cu xx pentru toți xx. Pentru a=1a = 1, avem x∗y=x+y+bx \ast y = x + y + b. Atunci x∗e=x+e+b=xx \ast e = x + e + b = x implică e+b=0e + b = 0, deci e=−be = -b. Verificând e∗x=−b+x+b=xe \ast x = -b + x + b = x, deci elementul neutru este e=−be = -b. Pentru a exista element neutru, bb poate fi orice, dar din asociativitate pentru a=1a = 1, bb este liber. Așadar, condițiile sunt a=1a = 1 și b∈Rb \in \mathbb{R} arbitrar.
33 puncte
Pentru a=1a = 1 și b=0b = 0 (de exemplu, sau orice bb, dar pentru simplitate luăm b=0b=0), legea devine x∗y=x+yx \ast y = x + y. Atunci (1∗2)∗3=(1+2)∗3=3∗3=3+3=6(1 \ast 2) \ast 3 = (1 + 2) \ast 3 = 3 \ast 3 = 3 + 3 = 6. Dacă b≠0b \neq 0, calculul este similar: (1∗2)∗3=(1+2+b)∗3=(3+b)∗3=(3+b)+3+b=6+2b(1 \ast 2) \ast 3 = (1 + 2 + b) \ast 3 = (3 + b) \ast 3 = (3 + b) + 3 + b = 6 + 2b. Se poate specifica că pentru b=0b=0 rezultatul este 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.