MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={x∈R∣x≠−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} se definește legea de compoziție ⊙\odot prin x⊙y=x+y+xyx \odot y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Demonstrați că (M,⊙)(M, \odot) este un grup comutativ și rezolvați în MM ecuația x⊙x=1x \odot x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru x,y∈Mx, y \in M, x⊙y=x+y+xyx \odot y = x + y + xy. Dacă x≠−1x \neq -1 și y≠−1y \neq -1, atunci x⊙y=−1x \odot y = -1 doar dacă x+y+xy=−1⇒(x+1)(y+1)=0x + y + xy = -1 \Rightarrow (x+1)(y+1)=0, ceea ce este fals deoarece x≠−1x \neq -1 și y≠−1y \neq -1, deci x⊙y≠−1x \odot y \neq -1, adică x⊙y∈Mx \odot y \in M.
22 puncte
Asociativitatea: (x⊙y)⊙z=(x+y+xy)⊙z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x \odot y) \odot z = (x+y+xy) \odot z = (x+y+xy) + z + (x+y+xy)z = x+y+xy+z+xz+yz+xyz. Similar, x⊙(y⊙z)=x⊙(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \odot (y \odot z) = x \odot (y+z+yz) = x + (y+z+yz) + x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz. Se observă că sunt egale, deci ⊙\odot este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm ee astfel încât x⊙e=xx \odot e = x pentru orice x∈Mx \in M. Din x+e+xe=xx+e+xe=x, obținem e(1+x)=0e(1+x)=0, deci e=0e=0, deoarece x≠−1x \neq -1 implică 1+x≠01+x \neq 0. Verificăm: x⊙0=x+0+x⋅0=xx \odot 0 = x+0+x\cdot0=x, deci e=0e=0 este element neutru.
42 puncte
Inversul: pentru x∈Mx \in M, căutăm x−1x^{-1} astfel încât x⊙x−1=0x \odot x^{-1} = 0. Din x+x−1+xx−1=0x + x^{-1} + x x^{-1} = 0, obținem x−1(1+x)=−xx^{-1}(1+x) = -x, deci x−1=−x1+xx^{-1} = \frac{-x}{1+x}, care există deoarece x≠−1x \neq -1. Verificăm că aceasta satisface condiția.
51 punct
Comutativitatea: x⊙y=x+y+xy=y+x+yx=y⊙xx \odot y = x+y+xy = y+x+yx = y \odot x, deci ⊙\odot este comutativă.
61 punct
Rezolvarea ecuației x⊙x=1x \odot x = 1: avem x+x+x2=1⇒x2+2x−1=0x + x + x^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0. Soluțiile sunt x=−1±2x = -1 \pm \sqrt{2}. Verificăm dacă sunt în MM: ambele sunt diferite de −1-1, deci soluțiile sunt x1=−1+2x_1 = -1 + \sqrt{2} și x2=−1−2x_2 = -1 - \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.