MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea N∗\mathbb{N}^* se consideră legea de compoziție x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. Studiați dacă această lege este asociativă și comutativă. Rezolvați în N∗\mathbb{N}^* ecuația x∘y=2x \circ y = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrați comutativitatea: x∘y=xyx+y=yxy+x=y∘xx \circ y = \frac{xy}{x+y} = \frac{yx}{y+x} = y \circ x.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: calculați (x∘y)∘z=(xyx+y)∘z=xyx+y⋅zxyx+y+z=xyzxy+xz+yz(x \circ y) \circ z = \left( \frac{xy}{x+y} \right) \circ z = \frac{ \frac{xy}{x+y} \cdot z }{ \frac{xy}{x+y} + z } = \frac{xyz}{xy + xz + yz} și x∘(y∘z)=xyzxy+xz+yzx \circ (y \circ z) = \frac{xyz}{xy + xz + yz}, deci sunt egale.
34 puncte
Rezolvați ecuația x∘y=2x \circ y = 2: din xyx+y=2\frac{xy}{x+y} = 2, obțineți xy=2x+2yxy = 2x + 2y, adică xy−2x−2y=0xy - 2x - 2y = 0. Adăugați 4: (x−2)(y−2)=4(x-2)(y-2) = 4. Găsiți toate perechile (x,y)∈N∗×N∗(x,y) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*: factorii lui 4 sunt 1, 2, 4, deci cazurile: x−2=1,y−2=4x-2=1, y-2=4 dă x=3,y=6x=3, y=6; x−2=2,y−2=2x-2=2, y-2=2 dă x=4,y=4x=4, y=4; x−2=4,y−2=1x-2=4, y-2=1 dă x=6,y=3x=6, y=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.