MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a+b1+aba * b = \frac{a+b}{1+ab}, pentru a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}, cu ab≠−1ab \neq -1. Arătați că legea este asociativă și determinați elementul neutru. Apoi, rezolvați ecuația x∗2=3x * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea asociativității: calculăm (a∗b)∗c=a+b1+ab+c1+a+b1+ab⋅c=a+b+c+abc1+ab+ac+bc(a*b)*c = \frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab} \cdot c} = \frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc} și a∗(b∗c)=a+b+c1+bc1+a⋅b+c1+bc=a+b+c+abc1+ab+ac+bca*(b*c) = \frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a \cdot \frac{b+c}{1+bc}} = \frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}, deci sunt egale.
23 puncte
Determinarea elementului neutru ee: rezolvăm a∗e=a⇒a+e1+ae=aa*e = a \Rightarrow \frac{a+e}{1+ae} = a, de unde a+e=a(1+ae)a+e = a(1+ae) și obținem e=0e=0.
33 puncte
Rezolvarea ecuației x∗2=3x * 2 = 3: înlocuim în definiție, x+21+2x=3\frac{x+2}{1+2x} = 3, deci x+2=3(1+2x)x+2 = 3(1+2x), rezultă x+2=3+6xx+2=3+6x, de unde x=−15x = -\frac{1}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.