MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−y+2x \ast y = xy - x - y + 2. Să se arate că această lege este asociativă și comutativă, să se determine elementul neutru și inversul unui element x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, dacă există. Apoi, să se rezolve ecuația (x∗3)∗2=4(x \ast 3) \ast 2 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm comutativitatea: x∗y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∗xx \ast y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y \ast x, deci legea este comutativă.
23 puncte
Arătăm asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x \ast y) \ast z = (xy - x - y + 2) \ast z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx \ast (y \ast z) = x \ast (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z), legea este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru ee: Avem x∗e=xx \ast e = x pentru orice xx. Deci xe−x−e+2=x⇒xe−e=2x−2⇒e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e = 2x - 2 \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, obținem e=2e = 2. Verificăm: x∗2=2x−x−2+2=xx \ast 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, deci e=2e=2 este element neutru.
42 puncte
Determinăm inversul lui xx: Căutăm x′x' astfel încât x∗x′=2x \ast x' = 2. Deci xx′−x−x′+2=2⇒xx′−x′=x⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow xx' - x' = x \Rightarrow x'(x-1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, pentru x≠1x \neq 1.
51 punct
Rezolvăm ecuația (x∗3)∗2=4(x \ast 3) \ast 2 = 4: Mai întâi, x∗3=3x−x−3+2=2x−1x \ast 3 = 3x - x - 3 + 2 = 2x - 1. Apoi, (2x−1)∗2=2(2x−1)−(2x−1)−2+2=4x−2−2x+1−2+2=2x−1(2x - 1) \ast 2 = 2(2x - 1) - (2x - 1) - 2 + 2 = 4x - 2 - 2x + 1 - 2 + 2 = 2x - 1. Ecuația devine 2x−1=4⇒2x=5⇒x=522x - 1 = 4 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}. Verificăm: 52∈R∖{1}\frac{5}{2} \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, deci soluția este x=52x = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.