MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește operația ∗* prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. Studiați dacă (M,∗)(M, *) formează un grup. În caz afirmativ, determinați elementul neutru și simetricul oricărui element din MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci operația este asociativă.
23 puncte
Determinarea elementului neutru ee: din x∗e=xx * e = x, avem xe−x−e+2=x⇒e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Cum x≠1x \neq 1, rezultă e=2e=2. Verificare: 2∗x=2x−2−x+2=x2 * x = 2x - 2 - x + 2 = x.
34 puncte
Determinarea simetricului: pentru x∈Mx \in M, fie x′x' simetricul, astfel încât x∗x′=2x * x' = 2. Atunci xx′−x−x′+2=2⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow x'(x-1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, deoarece x≠1x \neq 1. Verificare: x∗xx−1=2x * \frac{x}{x-1} = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.