MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗* definită pe Z\mathbb{Z} prin a∗b=a+b+2aba * b = a + b + 2ab. Arătați că ∗* este asociativă și comutativă. Găsiți elementul neutru și determinați pentru ce numere întregi aa există invers. Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (x∗y)∗z=0(x * y) * z = 0 cu condiția x+y+z=1x + y + z = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea: (a∗b)∗c=(a+b+2ab)∗c=(a+b+2ab)+c+2(a+b+2ab)c=a+b+2ab+c+2ac+2bc+4abc(a * b) * c = (a + b + 2ab) * c = (a + b + 2ab) + c + 2(a + b + 2ab)c = a + b + 2ab + c + 2ac + 2bc + 4abc și a∗(b∗c)=a∗(b+c+2bc)=a+(b+c+2bc)+2a(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abca * (b * c) = a * (b + c + 2bc) = a + (b + c + 2bc) + 2a(b + c + 2bc) = a + b + c + 2bc + 2ab + 2ac + 4abc. Se observă că sunt egale, deci operația este asociativă.
22 puncte
Comutativitatea: a∗b=a+b+2ab=b+a+2ba=b∗aa * b = a + b + 2ab = b + a + 2ba = b * a, deci operația este comutativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice aa. Avem a+e+2ae=a⇒e(1+2a)=0a + e + 2ae = a \Rightarrow e(1 + 2a) = 0 pentru orice aa, deci e=0e = 0.
42 puncte
Un element aa este inversabil dacă există a′a' cu a∗a′=0a * a' = 0. Rezolvăm a+a′+2aa′=0⇒a′(1+2a)=−a⇒a′=−a1+2aa + a' + 2aa' = 0 \Rightarrow a'(1 + 2a) = -a \Rightarrow a' = \frac{-a}{1 + 2a}. Pentru ca a′∈Za' \in \mathbb{Z}, 1+2a1 + 2a trebuie să dividă aa. Analizând cazurile, elementele inversabile sunt acele aa pentru care 1+2a=±11 + 2a = \pm 1 sau ±a\pm a; se obține că a=0a = 0 sau a=−1a = -1.
51 punct
Rezolvăm (x∗y)∗z=0(x * y) * z = 0 cu x+y+z=1x + y + z = 1. Din definiție, (x∗y)∗z=(x+y+2xy)∗z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=0(x * y) * z = (x + y + 2xy) * z = (x + y + 2xy) + z + 2(x + y + 2xy)z = 0. Folosind x+y+z=1x + y + z = 1, simplificăm și obținem o ecuație în x,y,zx, y, z. Substituind z=1−x−yz = 1 - x - y, avem x+y+2xy+(1−x−y)+2(x+y+2xy)(1−x−y)=0⇒1+2xy+2(x+y+2xy)(1−x−y)=0x + y + 2xy + (1 - x - y) + 2(x + y + 2xy)(1 - x - y) = 0 \Rightarrow 1 + 2xy + 2(x + y + 2xy)(1 - x - y) = 0. Dezvoltăm și obținem 2x2y+2xy2+2xy−2x−2y+1=02x^2y + 2xy^2 + 2xy - 2x - 2y + 1 = 0. Căutăm soluții întregi; prin încercare sau factorizare, se găsesc soluțiile ca (x,y,z)=(0,0,1)(x, y, z) = (0,0,1) sau permutări, și alte cazuri specifice după analiză detaliată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.