MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Se consideră legea de compoziție ∗* pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Demonstrați că legea este asociativă, determinați elementul neutru, iar pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, a≠−1a \neq -1, găsiți simetricul lui aa. Apoi rezolvați în R\mathbb{R} ecuația (2∗x)∗3=1(2 * x) * 3 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z) pentru a verifica asociativitatea. Avem (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz = x + y + z + xy + xz + yz + xyz. Similar, x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz = x + y + z + xy + xz + yz + xyz. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), de unde legea este asociativă.
22 puncte
Pentru elementul neutru ee, trebuie ca x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Deci x+e+xe=x⇒e+xe=0⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e + xe = 0 \Rightarrow e(1+x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, și 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x. Deci elementul neutru este e=0e=0.
33 puncte
Pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, a≠−1a \neq -1, simetricul a′a' trebuie să satisfacă a∗a′=0a * a' = 0. Deci a+a′+aa′=0⇒a′(1+a)=−a⇒a′=−a1+aa + a' + a a' = 0 \Rightarrow a'(1+a) = -a \Rightarrow a' = \frac{-a}{1+a}, deoarece a≠−1a \neq -1.
42 puncte
Rezolvăm ecuația (2∗x)∗3=1(2 * x) * 3 = 1. Mai întâi, 2∗x=2+x+2x=2+3x2 * x = 2 + x + 2x = 2 + 3x. Apoi (2∗x)∗3=(2+3x)∗3=(2+3x)+3+(2+3x)⋅3=2+3x+3+6+9x=11+12x(2 * x) * 3 = (2 + 3x) * 3 = (2 + 3x) + 3 + (2 + 3x) \cdot 3 = 2 + 3x + 3 + 6 + 9x = 11 + 12x. Ecuația devine 11+12x=1⇒12x=−10⇒x=−5611 + 12x = 1 \Rightarrow 12x = -10 \Rightarrow x = -\frac{5}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.