MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriEcuații iraționale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se consideră legea de compoziţie a∘b=a3+b33a \circ b = \sqrt[3]{a^3 + b^3}. a) Demonstraţi că (R,∘)(\mathbb{R}, \circ) este un grup comutativ. b) Determinaţi elementul neutru. c) Rezolvaţi ecuaţia x∘2=3x \circ 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Demonstrarea asociativităţii: (a∘b)∘c=(a3+b33)3+c33=a3+b3+c33(a \circ b) \circ c = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{a^3 + b^3})^3 + c^3} = \sqrt[3]{a^3 + b^3 + c^3}, iar a∘(b∘c)=a3+(b3+c33)33=a3+b3+c33a \circ (b \circ c) = \sqrt[3]{a^3 + (\sqrt[3]{b^3 + c^3})^3} = \sqrt[3]{a^3 + b^3 + c^3}, deci sunt egale.
22 puncte
Demonstrarea comutativităţii: a∘b=a3+b33=b3+a33=b∘aa \circ b = \sqrt[3]{a^3 + b^3} = \sqrt[3]{b^3 + a^3} = b \circ a.
32 puncte
Determinarea elementului neutru ee: din a∘e=aa \circ e = a, adică a3+e33=a\sqrt[3]{a^3 + e^3} = a, rezultă a3+e3=a3a^3 + e^3 = a^3, deci e3=0e^3 = 0, e=0e = 0, verificând 0∘a=a0 \circ a = a.
42 puncte
Determinarea simetricului a′a': din a∘a′=0a \circ a' = 0, adică a3+(a′)33=0\sqrt[3]{a^3 + (a')^3} = 0, rezultă a3+(a′)3=0a^3 + (a')^3 = 0, deci (a′)3=−a3(a')^3 = -a^3, a′=−aa' = -a.
51 punct
Rezolvarea ecuaţiei x∘2=3x \circ 2 = 3: x3+233=3\sqrt[3]{x^3 + 2^3} = 3, deci x3+8=27x^3 + 8 = 27, x3=19x^3 = 19, x=193x = \sqrt[3]{19}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.