MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=ax+by+cx * y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sunt parametri. Să se determine a,b,ca, b, c astfel încât ∗* să fie comutativă, asociativă și să admită elementul neutru 00. Apoi, pentru valorile găsite, să se rezolve în R\mathbb{R} ecuația x∗x=1x * x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, x∗y=y∗x⇒ax+by+c=ay+bx+c⇒(a−b)x+(b−a)y=0x * y = y * x \Rightarrow ax + by + c = ay + bx + c \Rightarrow (a-b)x + (b-a)y = 0 pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}, deci a=ba = b.
23 puncte
Cu a=ba = b, operația devine x∗y=a(x+y)+cx * y = a(x+y) + c. Se calculează (x∗y)∗z=a(a(x+y)+c)+az+c=a2(x+y)+az+ac+c(x * y) * z = a(a(x+y)+c) + a z + c = a^2(x+y) + a z + ac + c și x∗(y∗z)=ax+a(a(y+z)+c)+c=ax+a2(y+z)+ac+cx * (y * z) = a x + a(a(y+z)+c) + c = a x + a^2(y+z) + ac + c. Egalitatea pentru orice x,y,zx,y,z impune a2=aa^2 = a și ac+c=ac+cac + c = ac + c (adevărat), deci a=0a = 0 sau a=1a = 1.
32 puncte
Pentru elementul neutru 00, x∗0=x⇒ax+b⋅0+c=x⇒ax+c=xx * 0 = x \Rightarrow a x + b \cdot 0 + c = x \Rightarrow a x + c = x, deci a=1a = 1 și c=0c = 0. Din a=ba = b, rezultă b=1b = 1.
43 puncte
Din pașii precedenți, a=b=1a = b = 1 și c=0c = 0, deci x∗y=x+yx * y = x + y. Ecuația x∗x=1x * x = 1 devine x+x=1⇒2x=1⇒x=12x + x = 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.