MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=2xy−x−y+1x * y = 2xy - x - y + 1. a) Arătați că ∗* este asociativă. b) Găsiți elementul neutru al legii. c) Rezolvați ecuația x∗(x∗2)=3x * (x * 2) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrăm asociativitatea: calculăm (x∗y)∗z=(2xy−x−y+1)∗z=2(2xy−x−y+1)z−(2xy−x−y+1)−z+1=4xyz−2xz−2yz+2z−2xy+x+y−1−z+1=4xyz−2xy−2xz−2yz+x+y+z(x * y) * z = (2xy - x - y + 1) * z = 2(2xy - x - y + 1)z - (2xy - x - y + 1) - z + 1 = 4xyz - 2xz - 2yz + 2z - 2xy + x + y - 1 - z + 1 = 4xyz - 2xy - 2xz - 2yz + x + y + z. Apoi x∗(y∗z)=x∗(2yz−y−z+1)=2x(2yz−y−z+1)−x−(2yz−y−z+1)+1=4xyz−2xy−2xz−2yz+x+y+zx * (y * z) = x * (2yz - y - z + 1) = 2x(2yz - y - z + 1) - x - (2yz - y - z + 1) + 1 = 4xyz - 2xy - 2xz - 2yz + x + y + z. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), de unde rezultă că ∗* este asociativă.
22 puncte
Determinăm elementul neutru ee: din x∗e=xx * e = x avem 2xe−x−e+1=x⇒2xe−e=2x−1⇒e(2x−1)=2x−12xe - x - e + 1 = x \Rightarrow 2xe - e = 2x - 1 \Rightarrow e(2x - 1) = 2x - 1. Pentru x≠12x \neq \frac{1}{2}, obținem e=1e=1, iar verificând, x∗1=2x⋅1−x−1+1=xx * 1 = 2x \cdot 1 - x - 1 + 1 = x, deci e=1e=1.
34 puncte
Rezolvăm ecuația x∗(x∗2)=3x * (x * 2) = 3. Mai întâi calculăm x∗2=2x⋅2−x−2+1=4x−x−1=3x−1x * 2 = 2x \cdot 2 - x - 2 + 1 = 4x - x - 1 = 3x - 1. Apoi x∗(3x−1)=2x(3x−1)−x−(3x−1)+1=6x2−2x−x−3x+1+1=6x2−6x+2x * (3x - 1) = 2x(3x - 1) - x - (3x - 1) + 1 = 6x^2 - 2x - x - 3x + 1 + 1 = 6x^2 - 6x + 2. Ecuația devine 6x2−6x+2=3⇒6x2−6x−1=06x^2 - 6x + 2 = 3 \Rightarrow 6x^2 - 6x - 1 = 0. Discriminantul este Δ=(−6)2−4⋅6⋅(−1)=36+24=60\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 36 + 24 = 60, deci x=6±6012=6±21512=3±156x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{6}. Soluțiile sunt x=3+156x = \frac{3 + \sqrt{15}}{6} și x=3−156x = \frac{3 - \sqrt{15}}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.