MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Fie legea de compoziție ∗* definită pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. a) Demonstrați că legea ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∗*. c) Rezolvați ecuația x∗x∗x=ex * x * x = e, unde ee este elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică asociativitatea calculând (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z și x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)x * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) și se arată că ambele sunt egale cu xyz−xy−xz−yz+2x+2y+2z−2xyz - xy - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2.
23 puncte
Se rezolvă x∗e=xx * e = x și e∗x=xe * x = x pentru e∈Me \in M, obținând e=2e = 2.
33 puncte
Se înlocuiește în ecuație: x∗x∗x=((x∗x)∗x)=ex * x * x = ((x * x) * x) = e, cu x∗x=x2−2x+2x * x = x^2 - 2x + 2, rezultând ecuația (x2−2x+2)∗x=2(x^2 - 2x + 2) * x = 2, care se simplifică la x3−3x2+4x−2=0x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0, cu soluțiile x=1x = 1 (exclus din MM) și x=2x = 2 (dublă), deci singura soluție este x=2x = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.