MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R,x>0}M = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}, x > 0\} definim operația ∘\circ prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2,y1+x1y2)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 + x_1 y_2). Să se demonstreze că (M,∘)(M, \circ) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Arătăm că pentru orice (x1,y1),(x2,y2)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in M, avem (x1x2,y1+x1y2)∈M(x_1 x_2, y_1 + x_1 y_2) \in M deoarece x1x2>0x_1 x_2 > 0, deci operația este bine definită și MM este închisă la ∘\circ.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)=(x1x2x3,y1+x1y2+x1x2y3)((x_1, y_1) \circ (x_2, y_2)) \circ (x_3, y_3) = (x_1 x_2 x_3, y_1 + x_1 y_2 + x_1 x_2 y_3) și (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))=(x1x2x3,y1+x1(y2+x2y3))(x_1, y_1) \circ ((x_2, y_2) \circ (x_3, y_3)) = (x_1 x_2 x_3, y_1 + x_1 (y_2 + x_2 y_3)), care sunt egale.
33 puncte
Determinăm elementul neutru e=(1,0)e = (1, 0) și verificăm că (x,y)∘(1,0)=(1,0)∘(x,y)=(x,y)(x, y) \circ (1, 0) = (1, 0) \circ (x, y) = (x, y) pentru orice (x,y)∈M(x, y) \in M.
43 puncte
Pentru fiecare (x,y)∈M(x, y) \in M, găsim elementul simetric (x′,y′)=(1x,−yx)(x', y') = \left( \frac{1}{x}, -\frac{y}{x} \right) și verificăm că (x,y)∘(1x,−yx)=(1x,−yx)∘(x,y)=(1,0)(x, y) \circ \left( \frac{1}{x}, -\frac{y}{x} \right) = \left( \frac{1}{x}, -\frac{y}{x} \right) \circ (x, y) = (1, 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.