MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriPolinoame
Fie mulțimea A=R∖{1}A = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗:A×A→A* : A \times A \to A definită prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2 pentru orice x,y∈Ax, y \in A. a) Arătați că ∗* este o lege de compoziție asociativă. b) Determinați elementul neutru al operației ∗*, dacă există. c) Rezolvați în AA ecuația x∗x∗x=2x * x * x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică asociativitatea calculând (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z). Avem (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xy−xz−yz+2x+2y+2z−2(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz−yz+2x+2y+2z−2x * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Pentru elementul neutru ee, din x∗e=xx * e = x obținem xe−x−e+2=x  ⟹  xe−e=2x−2  ⟹  e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \implies xe - e = 2x - 2 \implies e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, putem împărți și obținem e=2e = 2. Se verifică și e∗x=xe * x = x, deci elementul neutru este e=2e = 2.
33 puncte
Folosind asociativitatea, ecuația devine (x∗x)∗x=2(x * x) * x = 2. Calculăm x∗x=x2−2x+2x * x = x^2 - 2x + 2. Atunci (x2−2x+2)∗x=(x2−2x+2)x−(x2−2x+2)−x+2=x3−3x2+3x(x^2 - 2x + 2) * x = (x^2 - 2x + 2)x - (x^2 - 2x + 2) - x + 2 = x^3 - 3x^2 + 3x. Ecuația este x3−3x2+3x=2x^3 - 3x^2 + 3x = 2, adică x3−3x2+3x−2=0x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0. Factorizăm: (x−2)(x2−x+1)=0(x-2)(x^2 - x + 1) = 0. Singura soluție reală este x=2x = 2, care aparține lui AA, deci soluția este x=2x = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.