MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} se definește legea de compoziție ∘\circ prin (a,b)∘(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \circ (c,d) = (ac, ad + b). a) Arătați că (G,∘)(G, \circ) este un grup. b) Determinați elementul simetric al elementului (2,3)(2,3). c) Rezolvați ecuația (x,y)∘(1,2)=(2,5)(x,y) \circ (1,2) = (2,5).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Se demonstrează asociativitatea: ((a,b)∘(c,d))∘(e,f)=(a,b)∘((c,d)∘(e,f))=(ace,adf+af+b)((a,b) \circ (c,d)) \circ (e,f) = (a,b) \circ ((c,d) \circ (e,f)) = (ace, adf + af + b). Elementul neutru este (1,0)(1,0), verificând (a,b)∘(1,0)=(a,b)(a,b) \circ (1,0) = (a,b) și (1,0)∘(a,b)=(a,b)(1,0) \circ (a,b) = (a,b). Simetricul lui (a,b)(a,b) este (1a,−ba)(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}), deoarece (a,b)∘(1a,−ba)=(1,0)(a,b) \circ (\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) = (1,0).
22 puncte
Simetricul lui (2,3)(2,3) este (12,−32)(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}).
33 puncte
Ecuația (x,y)∘(1,2)=(2,5)(x,y) \circ (1,2) = (2,5) devine (x⋅1,x⋅2+y)=(2,5)(x \cdot 1, x \cdot 2 + y) = (2,5), deci x=2x = 2 și 2x+y=52x + y = 5, rezultând y=1y = 1. Soluția este (x,y)=(2,1)(x,y) = (2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.