MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea D={x∈R∣∣x∣<1}D = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x| < 1 \}, se consideră legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y1+xyx * y = \frac{x + y}{1 + xy}. Demonstrați că ∗* este asociativă și comutativă. Găsiți elementul neutru și simetricele. Apoi, rezolvați ecuația x∗x=12x * x = \frac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Comutativitatea este evidentă deoarece x∗y=x+y1+xyx * y = \frac{x + y}{1 + xy} este simetrică. Pentru asociativitate, calculați (x∗y)∗z=x+y1+xy+z1+x+y1+xyz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz(x * y) * z = \frac{\frac{x + y}{1 + xy} + z}{1 + \frac{x + y}{1 + xy} z} = \frac{x + y + z + xyz}{1 + xy + xz + yz} și x∗(y∗z)=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yzx * (y * z) = \frac{x + \frac{y + z}{1 + yz}}{1 + x \cdot \frac{y + z}{1 + yz}} = \frac{x + y + z + xyz}{1 + xy + xz + yz}, deci egal.
22 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=x⇒x+e1+xe=x⇒x+e=x+x2e⇒e(1−x2)=0x * e = x \Rightarrow \frac{x + e}{1 + xe} = x \Rightarrow x + e = x + x^2 e \Rightarrow e(1 - x^2) = 0. Pentru ∣x∣<1|x| < 1, 1−x2≠01 - x^2 \neq 0, deci e=0e = 0. Verificați: x∗0=x+01+0=xx * 0 = \frac{x + 0}{1 + 0} = x.
32 puncte
Simetricul x′x' satisface x∗x′=0⇒x+x′1+xx′=0⇒x+x′=0⇒x′=−xx * x' = 0 \Rightarrow \frac{x + x'}{1 + xx'} = 0 \Rightarrow x + x' = 0 \Rightarrow x' = -x. Deoarece ∣x∣<1|x| < 1, avem ∣x′∣<1|x'| < 1 și 1+xx′=1−x2≠01 + xx' = 1 - x^2 \neq 0, deci este bine definit.
43 puncte
Ecuația x∗x=12x * x = \frac{1}{2} devine 2x1+x2=12⇒4x=1+x2⇒x2−4x+1=0⇒x=2±3\frac{2x}{1 + x^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4x = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}. Condiția ∣x∣<1|x| < 1 implică x=2−3x = 2 - \sqrt{3} (deoarece 2+3>12 + \sqrt{3} > 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.