MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Demonstrați că (M,∗)(M, *) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm că legea ∗* este bine definită pe MM: pentru x,y∈Mx, y \in M, x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. Trebuie să arătăm că x∗y∈Mx * y \in M, adică x∗y≠1x * y \neq 1. Presupunem că x∗y=1⇒xy−x−y+2=1⇒xy−x−y+1=0⇒(x−1)(y−1)=0x * y = 1 \Rightarrow xy - x - y + 2 = 1 \Rightarrow xy - x - y + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, contradicție cu x,y∈Mx, y \in M. Așadar, x∗y∈Mx * y \in M.
23 puncte
Demonstram asociativitatea: (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Cele două sunt egale, deci ∗* este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee: x∗e=x⇒xe−x−e+2=x⇒e(x−1)=2x−2⇒e=2x * e = x \Rightarrow xe - x - e + 2 = x \Rightarrow e(x - 1) = 2x - 2 \Rightarrow e = 2 (deoarece x≠1x \neq 1). Verificăm: x∗2=2x−x−2+2=xx * 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, și 2∈M2 \in M deoarece 2≠12 \neq 1.
42 puncte
Determinăm simetricul x′x' al unui element xx: x∗x′=e=2⇒xx′−x−x′+2=2⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1x * x' = e = 2 \Rightarrow xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow x'(x - 1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, care este în MM deoarece x≠1x \neq 1 și x′≠1x' \neq 1 (dacă x′=1x' = 1, atunci x=x−1x = x-1, imposibil).
51 punct
Verificăm comutativitatea: x∗y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∗xx * y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y * x, deci legea este comutativă, iar (M,∗)(M, *) este grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.