MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie ∗* o lege de compoziție pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=px+qy+rx*y = px + qy + r, unde p,q,r∈Rp, q, r \in \mathbb{R}. a) Demonstrați că ∗* este asociativă dacă și numai dacă p=q=1p = q = 1 și r=0r = 0. b) În acest caz, determinați elementul neutru și inversul fiecărui element x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția de asociativitate (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z) pentru orice x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R} și calculăm (x∗y)∗z=p(px+qy+r)+qz+r=p2x+pqy+pr+qz+r(x*y)*z = p(px+qy+r) + qz + r = p^2 x + pq y + pr + qz + r și x∗(y∗z)=px+q(py+qz+r)+r=px+pqy+q2z+qr+rx*(y*z) = px + q(py+qz+r) + r = px + pq y + q^2 z + qr + r.
24 puncte
Echivalăm expresiile și obținem sistemul {p2=pq=q2pr=qr\begin{cases} p^2 = p \\ q = q^2 \\ pr = qr \end{cases} (coeficienții lui xx, zz și termenii liberi, cu pq=pqpq = pq identic). Rezolvăm: din p2=pp^2=p, p=0p=0 sau p=1p=1; din q=q2q=q^2, q=0q=0 sau q=1q=1; din pr=qrpr=qr, pentru ∗* asociativă, trebuie p=q=1p=q=1 și atunci r=0r=0 (verificăm că pentru p=q=1,r=0p=q=1, r=0, x∗y=x+yx*y=x+y este asociativă).
33 puncte
Pentru x∗y=x+yx*y=x+y, găsim elementul neutru ee: x∗e=xx*e=x implică x+e=xx+e=x, deci e=0e=0. Inversul lui xx, notat x′x', satisface x∗x′=ex*x'=e, adică x+x′=0x+x'=0, deci x′=−xx' = -x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.