MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Studiați comutativitatea și asociativitatea. b) Determinați elementele simetrizabile și simetricul fiecăruia. c) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați comutativitatea: x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx*y = x+y-xy = y+x-yx = y*x pentru orice x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z}, deci legea este comutativă.\n
23 puncte
Verificați asociativitatea: Calculați (x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x*y)*z = (x+y-xy)+z - (x+y-xy)z = x+y+z-xy-xz-yz+xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx*(y*z) = x+(y+z-yz) - x(y+z-yz) = x+y+z-yz-xy-xz+xyz. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.\n
33 puncte
Determinați elementul neutru ee: Rezolvați x∗e=xx*e = x, adică x+e−xe=xx+e-xe = x, de unde e(1−x)=0e(1-x)=0 pentru orice xx, deci e=0e=0. Verificați că 0∗x=x∗0=x0*x = x*0 = x. Pentru elementele simetrizabile, găsiți x′x' astfel încât x∗x′=0x*x' = 0: x+x′−xx′=0x+x'-xx'=0, deci x′(1−x)=−xx'(1-x) = -x. Dacă x=1x=1, ecuația devine 1=01=0, imposibil, deci x=1x=1 nu este simetrizabil. Pentru x≠1x \neq 1, x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}. Acesta trebuie să fie întreg, deci x−1x-1 trebuie să dividă xx. Aceasta se întâmplă dacă x−1∈{−1,1}x-1 \in \{-1,1\}, adică x∈{0,2}x \in \{0,2\}. Simetricul pentru x=0x=0 este 00, iar pentru x=2x=2 este 22.\n
42 puncte
Rezolvați ecuația (x∗2)∗3=4(x*2)*3=4. Calculați x∗2=x+2−2x=2−xx*2 = x+2-2x = 2-x. Apoi, (2−x)∗3=(2−x)+3−(2−x)3=5−x−6+3x=2x−1(2-x)*3 = (2-x)+3-(2-x)3 = 5-x-6+3x = 2x-1. Ecuația devine 2x−1=42x-1=4, deci 2x=52x=5, x=52x=\frac{5}{2}, care nu este întreg. Prin urmare, ecuația nu are soluții în Z\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.