MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} se definește operația ∗* prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). Arătați că ∗* este asociativă. Determinați elementul neutru. Arătați că orice element (a,b)∈G(a,b) \in G are un invers. Rezolvați în GG ecuația (2,3)∗(x,y)=(1,0)(2,3) * (x,y) = (1,0).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Asociativitatea: se calculează ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf+ad+b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf+ad+b), deci sunt egale.
22 puncte
Elementul neutru: căutăm (e1,e2)(e1,e2) astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b)*(e1,e2)=(a,b), deci (ae1,ae2+b)=(a,b)(ae1, ae2+b)=(a,b); din ae1=aae1=a și a≠0a\neq0 rezultă e1=1e1=1, iar din ae2+b=bae2+b=b rezultă ae2=0ae2=0; verificare: (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0)*(a,b)=(1\cdot a, 1\cdot b+0)=(a,b).
33 puncte
Inversul: pentru (a,b)(a,b), căutăm (a′,b′)(a',b') cu (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b)*(a',b')=(1,0), deci (aa′,ab′+b)=(1,0)(aa', ab'+b)=(1,0); din aa′=1aa'=1 rezultă a′=1aa'=\frac{1}{a}, iar din ab′+b=0ab'+b=0 rezultă b′=−bab'=-\frac{b}{a}.
42 puncte
Rezolvarea ecuației: (2,3)∗(x,y)=(1,0)⇒(2x,2y+3)=(1,0)(2,3)*(x,y)=(1,0) \Rightarrow (2x, 2y+3)=(1,0), deci 2x=12x=1 și 2y+3=02y+3=0; rezultă x=12x=\frac{1}{2} și y=−32y=-\frac{3}{2}, iar (12,−32)∈G(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})\in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.