MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie M={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}M = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \}. Pe MM se definește legea de compoziție (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad + b). Să se arate că (M,∗)(M, \ast) este un grup. Apoi, să se determine elementele (x,y)∈M(x,y) \in M care satisfac (x,y)∗(2,1)=(2,1)∗(x,y)(x,y) \ast (2,1) = (2,1) \ast (x,y).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm că legea este internă: Pentru (a,b),(c,d)∈M(a,b), (c,d) \in M, avem (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) \ast (c,d) = (ac, ad + b). Deoarece a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, rezultă ac≠0ac \neq 0, deci (ac,ad+b)∈M(ac, ad + b) \in M.
23 puncte
Arătăm asociativitatea: Fie (a,b),(c,d),(e,f)∈M(a,b), (c,d), (e,f) \in M. Calculăm ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b) \ast (c,d)) \ast (e,f) = (ac, ad + b) \ast (e,f) = (ace, acf + ad + b). Pe de altă parte, (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b) \ast ((c,d) \ast (e,f)) = (a,b) \ast (ce, cf + d) = (ace, a(cf + d) + b) = (ace, acf + ad + b). Deci legea este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru: Căutăm (e1,e2)∈M(e_1, e_2) \in M astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) \ast (e_1, e_2) = (a,b) pentru orice (a,b)∈M(a,b) \in M. Avem (ae1,ae2+b)=(a,b)(ae_1, ae_2 + b) = (a,b), deci ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b. Din a≠0a \neq 0, obținem e1=1e_1 = 1 și ae2=0⇒e2=0ae_2 = 0 \Rightarrow e_2 = 0. Verificăm: (1,0)∈M(1,0) \in M și (a,b)∗(1,0)=(a⋅1,a⋅0+b)=(a,b)(a,b) \ast (1,0) = (a \cdot 1, a \cdot 0 + b) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
42 puncte
Determinăm inversul unui element (a,b)∈M(a,b) \in M: Căutăm (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b) \ast (a',b') = (1,0). Avem (aa′,ab′+b)=(1,0)(aa', ab' + b) = (1,0), deci aa′=1aa' = 1 și ab′+b=0ab' + b = 0. Din a≠0a \neq 0, obținem a′=1aa' = \frac{1}{a} și b′=−bab' = -\frac{b}{a}. Verificăm: (a,b)∗(1a,−ba)=(a⋅1a,a⋅(−ba)+b)=(1,−b+b)=(1,0)(a,b) \ast (\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) = (a \cdot \frac{1}{a}, a \cdot (-\frac{b}{a}) + b) = (1, -b + b) = (1,0), deci inversul lui (a,b)(a,b) este (1a,−ba)(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}).
51 punct
Rezolvăm ecuația (x,y)∗(2,1)=(2,1)∗(x,y)(x,y) \ast (2,1) = (2,1) \ast (x,y): Calculăm (x,y)∗(2,1)=(2x,x+y)(x,y) \ast (2,1) = (2x, x + y) și (2,1)∗(x,y)=(2x,2y+1)(2,1) \ast (x,y) = (2x, 2y + 1). Ecuația devine (2x,x+y)=(2x,2y+1)(2x, x + y) = (2x, 2y + 1). Deci 2x=2x2x = 2x (adevărat) și x+y=2y+1⇒x−y=1⇒y=x−1x + y = 2y + 1 \Rightarrow x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1. Elementele (x,y)∈M(x,y) \in M trebuie să aibă x≠0x \neq 0, deci soluțiile sunt (x,x−1)(x, x-1) cu x∈R,x≠0x \in \mathbb{R}, x \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.