MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea A={0,1,2,3,4}A = \{0,1,2,3,4\} se definește legea de compoziție ⊗\otimes prin x⊗y=(x+y)mod  5x \otimes y = (x+y) \mod 5. a) Arătați că (A,⊗)(A, \otimes) este un grup. b) Determinați ordinul elementului 22 în acest grup. c) Rezolvați ecuația x⊗x=1x \otimes x = 1 în AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea axiomelor de grup.
  • Închidere: pentru orice x,y∈Ax,y \in A, x⊗y=(x+y)mod  5x \otimes y = (x+y) \mod 5 este în {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\}, deci închidere.
  • Asociativitate: (x⊗y)⊗z=((x+y)mod  5+z)mod  5=(x+y+z)mod  5(x \otimes y) \otimes z = ((x+y) \mod 5 + z) \mod 5 = (x+y+z) \mod 5 și x⊗(y⊗z)=(x+(y+z)mod  5)mod  5=(x+y+z)mod  5x \otimes (y \otimes z) = (x + (y+z) \mod 5) \mod 5 = (x+y+z) \mod 5, deci asociativă.
  • Element neutru: căutăm ee cu x⊗e=xx \otimes e = x. x⊗e=(x+e)mod  5=x⇒e=0x \otimes e = (x+e) \mod 5 = x \Rightarrow e=0, deoarece (x+0)mod  5=x(x+0) \mod 5 = x.
  • Elemente inverse: pentru fiecare x∈Ax \in A, căutăm yy cu x⊗y=0x \otimes y = 0. x⊗y=(x+y)mod  5=0⇒y=(5−x)mod  5x \otimes y = (x+y) \mod 5 = 0 \Rightarrow y = (5-x) \mod 5. De exemplu, pentru x=0x=0, y=0y=0; pentru x=1x=1, y=4y=4; pentru x=2x=2, y=3y=3; pentru x=3x=3, y=2y=2; pentru x=4x=4, y=1y=1. Toate inversele sunt în AA.
23 puncte
Determinarea ordinului elementului 22. Ordinul este cel mai mic n>0n>0 cu 2⊗2⊗⋯⊗22 \otimes 2 \otimes \dots \otimes 2 (de nn ori) =0=0. Calculăm: 21=22^1=2, 22=2⊗2=42^2=2 \otimes 2=4, 23=4⊗2=12^3=4 \otimes 2=1, 24=1⊗2=32^4=1 \otimes 2=3, 25=3⊗2=02^5=3 \otimes 2=0. Deci ordinul este 55.
33 puncte
Rezolvarea ecuației x⊗x=1x \otimes x =1. Avem x⊗x=(x+x)mod  5=(2x)mod  5=1x \otimes x = (x+x) \mod 5 = (2x) \mod 5 =1. Rezolvăm 2x≡1(mod5)2x \equiv 1 \pmod{5}. Înmulțim cu inversul lui 22 modulo 55, care este 33 (deoarece 2⋅3=6≡1(mod5)2 \cdot 3 =6 \equiv 1 \pmod{5}), obținând x≡3⋅1=3(mod5)x \equiv 3 \cdot 1 =3 \pmod{5}. Singura soluție în AA este x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.