MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R,x≠0}M = \{(x,y) \mid x, y \in \mathbb{R}, x \neq 0\} se definește operația ∗* prin (x1,y1)∗(x2,y2)=(x1x2,y1+x1y2)(x_1, y_1) * (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 + x_1 y_2). Verificați dacă ∗* este asociativă și comutativă. Găsiți elementul neutru și inversul unui element (x,y)∈M(x,y) \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: (x1,y1)∗(x2,y2)=(x1x2,y1+x1y2)(x_1,y_1)*(x_2,y_2) = (x_1 x_2, y_1 + x_1 y_2) și (x2,y2)∗(x1,y1)=(x2x1,y2+x2y1)(x_2,y_2)*(x_1,y_1) = (x_2 x_1, y_2 + x_2 y_1). Pentru comutativitate, ar trebui y1+x1y2=y2+x2y1y_1 + x_1 y_2 = y_2 + x_2 y_1 pentru orice x1,x2≠0,y1,y2x_1,x_2 \neq 0, y_1,y_2, ceea ce nu este adevărat; de exemplu, pentru (1,0)∗(2,0)=(2,0)(1,0)*(2,0) = (2,0) dar (2,0)∗(1,0)=(2,0)(2,0)*(1,0) = (2,0) este comutativ aici, dar luăm (1,1)∗(2,0)=(2,1)(1,1)*(2,0) = (2,1) și (2,0)∗(1,1)=(2,2)(2,0)*(1,1) = (2,2), diferite, deci ∗* nu este comutativă.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: calculăm ((x1,y1)∗(x2,y2))∗(x3,y3)=(x1x2,y1+x1y2)∗(x3,y3)=(x1x2x3,(y1+x1y2)+x1x2y3)((x_1,y_1)*(x_2,y_2))*(x_3,y_3) = (x_1 x_2, y_1 + x_1 y_2)*(x_3,y_3) = (x_1 x_2 x_3, (y_1 + x_1 y_2) + x_1 x_2 y_3) și (x1,y1)∗((x2,y2)∗(x3,y3))=(x1,y1)∗(x2x3,y2+x2y3)=(x1x2x3,y1+x1(y2+x2y3))=(x1x2x3,y1+x1y2+x1x2y3)(x_1,y_1)*((x_2,y_2)*(x_3,y_3)) = (x_1,y_1)*(x_2 x_3, y_2 + x_2 y_3) = (x_1 x_2 x_3, y_1 + x_1 (y_2 + x_2 y_3)) = (x_1 x_2 x_3, y_1 + x_1 y_2 + x_1 x_2 y_3). Expresiile sunt egale, deci ∗* este asociativă.
32 puncte
Găsim elementul neutru (e,f)(e,f): din (x,y)∗(e,f)=(x,y)(x,y)*(e,f) = (x,y), obținem xe=xx e = x și y+xf=yy + x f = y. Deoarece x≠0x \neq 0, rezultă e=1e=1 și f=0f=0; verificăm că (1,0)∗(x,y)=(x,0+xy)=(x,y)(1,0)*(x,y) = (x,0+x y) = (x,y) și (x,y)∗(1,0)=(x,y+x⋅0)=(x,y)(x,y)*(1,0) = (x, y + x \cdot 0) = (x,y), deci (1,0)(1,0) este element neutru.
42 puncte
Găsim inversul (a,b)(a,b) al lui (x,y)(x,y): din (x,y)∗(a,b)=(1,0)(x,y)*(a,b) = (1,0), obținem xa=1x a = 1 și y+xb=0y + x b = 0. Deoarece x≠0x \neq 0, avem a=1xa = \frac{1}{x} și b=−yxb = -\frac{y}{x}; verificăm că (x,y)∗(1x,−yx)=(1,y+x(−yx))=(1,0)(x,y)*(\frac{1}{x}, -\frac{y}{x}) = (1, y + x(-\frac{y}{x})) = (1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.