MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. a) Studiați comutativitatea și asociativitatea operației. b) Determinați elementul neutru. c) Pentru fiecare x∈Rx \in \mathbb{R}, găsiți elementul simetric în raport cu operația ∗*, dacă există. d) Considerați mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\}. Verificați dacă (G,∗)(G, *) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Comutativitatea: x∗y=xy+x+y=yx+y+x=y∗xx * y = xy + x + y = yx + y + x = y * x, deci operația este comutativă.
23 puncte
Asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z. Și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru ee: Din x∗e=xx * e = x, avem xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x+1) = 0 pentru orice xx. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e=0. Verificăm: x∗0=x⋅0+x+0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x, și 0∗x=0⋅x+0+x=x0 * x = 0 \cdot x + 0 + x = x, deci e=0e=0 este element neutru.
42 puncte
Elementul simetric: Pentru x∈Rx \in \mathbb{R}, fie x′x' simetricul, astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Avem xx′+x+x′=0⇒x′(x+1)=−x⇒x′=−xx+1x x' + x + x' = 0 \Rightarrow x'(x+1) = -x \Rightarrow x' = -\frac{x}{x+1}, pentru x≠−1x \neq -1. Pentru x=−1x = -1, ecuația devine −1∗x′=0⇒−x′−1+x′=−1=0-1 * x' = 0 \Rightarrow -x' -1 + x' = -1 = 0, fals, deci x=−1x=-1 nu are simetric.
51 punct
Pe mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\}, operația ∗* este bine definită, comutativă, asociativă, are element neutru 00, și fiecare element are simetric x′=−xx+1x' = -\frac{x}{x+1}, deci (G,∗)(G, *) este grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.