MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie legea de compoziție ∗\ast definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx \ast y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine a,b,ca, b, c astfel încât ∗\ast să fie comutativă și asociativă. Dacă există, să se găsească elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru comutativitate, avem x∗y=y∗xx \ast y = y \ast x, adică xy+ax+by+c=yx+ay+bx+cxy + ax + by + c = yx + ay + bx + c. Simplificând, obținem ax+by=ay+bxax + by = ay + bx pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, de unde a=ba = b.
24 puncte
Pentru asociativitate, cu a=ba = b, calculăm (x∗y)∗z=(xy+ax+ay+c)∗z=(xy+a(x+y)+c)z+a(xy+a(x+y)+c)+az+c(x \ast y) \ast z = (xy + ax + ay + c) \ast z = (xy + a(x+y) + c)z + a(xy + a(x+y) + c) + az + c și x∗(y∗z)=x∗(yz+ay+az+c)=x(yz+ay+az+c)+ax+a(yz+ay+az+c)+cx \ast (y \ast z) = x \ast (yz + ay + az + c) = x(yz + ay + az + c) + ax + a(yz + ay + az + c) + c. Egalând și simplificând, obținem condiția c=0c = 0 pentru asociativitate.
33 puncte
Elementul neutru ee verifică x∗e=xx \ast e = x pentru orice xx. Cu a=ba = b și c=0c = 0, avem xe+ax+ae=xxe + ax + ae = x, de unde e(x+a)=x−axe(x + a) = x - ax. Pentru x+a≠0x + a \neq 0, e=x(1−a)x+ae = \frac{x(1-a)}{x+a}, dar aceasta trebuie să fie constantă pentru orice xx. Setăm x=0x=0, obținem e=0e = 0 dacă a≠0a \neq 0. Verificând, pentru e=0e=0, x∗0=axx \ast 0 = ax, care este egal cu xx doar dacă a=1a=1. Deci, pentru a=b=1a=b=1 și c=0c=0, elementul neutru nu există, iar pentru a=b≠1a=b \neq 1 și c=0c=0, elementul neutru este e=1−ae = 1 - a.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.