MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Se definește legea de compoziție ∗* pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. a) Arătați că ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, găsiți inversul său, dacă există. d) Rezolvați ecuația (x∗x)∗3=1(x * x) * 3 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică asociativitatea calculând (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=xyz−xy−xz−yz+2x+2y+2z−2(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = xyz - xy - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 și x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+2x+2y+2z−2x * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2, deci sunt egale.
23 puncte
Se rezolvă x∗e=xx * e = x pentru orice xx, adică xe−x−e+2=xxe - x - e + 2 = x, de unde xe−e=2x−2xe - e = 2x - 2, deci e(x−1)=2(x−1)e(x-1) = 2(x-1). Cum x≠1x \neq 1, se împarte la x−1x-1 și se obține e=2e = 2. Verificarea arată că 2∗x=2x−2−x+2=x2 * x = 2x - 2 - x + 2 = x, deci elementul neutru este 22.
32 puncte
Pentru a găsi inversul lui xx, se rezolvă x∗x′=2x * x' = 2, adică xx′−x−x′+2=2xx' - x - x' + 2 = 2, deci xx′−x−x′=0xx' - x - x' = 0, rezultă x′(x−1)=xx'(x-1) = x. Cum x≠1x \neq 1, se împarte și se obține x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}.
42 puncte
Se calculează x∗x=x2−2x+2x * x = x^2 - 2x + 2, apoi (x∗x)∗3=(x2−2x+2)∗3=3(x2−2x+2)−(x2−2x+2)−3+2=2x2−4x+5(x * x) * 3 = (x^2 - 2x + 2) * 3 = 3(x^2 - 2x + 2) - (x^2 - 2x + 2) - 3 + 2 = 2x^2 - 4x + 5. Ecuația devine 2x2−4x+5=12x^2 - 4x + 5 = 1, adică 2x2−4x+4=02x^2 - 4x + 4 = 0 sau x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅2=4−8=−4<0\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0, deci nu are soluții reale; astfel, ecuația nu are soluție în R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.