MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Arătați că ∗* este asociativă. Determinați elementul neutru al acestei legi. Pentru fiecare a∈R∖{1}a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, găsiți inversul lui aa, notat a′a', astfel încât a∗a′=ea * a' = e, unde ee este elementul neutru. Rezolvați în R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} ecuația x∗(x∗2)=1x * (x * 2) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea asociativității: se calculează (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x*y)*z = (x+y-xy)*z = x+y-xy+z-(x+y-xy)z = x+y+z-xy-xz-yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+y+z−yz−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+y+z-yz-x(y+z-yz)=x+y+z-yz-xy-xz+xyz, deci sunt egale.
22 puncte
Determinarea elementului neutru: din x∗e=xx*e=x se obține x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x+e-xe=x \Rightarrow e(1-x)=0, deci e=0e=0 (deoarece x≠1x\neq1); verificare: 0∗x=0+x−0⋅x=x0*x=0+x-0\cdot x=x.
33 puncte
Găsirea inversului: pentru aa, din a∗a′=0a*a'=0 se obține a+a′−aa′=0⇒a′(1−a)=−a⇒a′=aa−1a+a'-aa'=0 \Rightarrow a'(1-a)=-a \Rightarrow a'=\frac{a}{a-1}.
43 puncte
Rezolvarea ecuației: se calculează x∗2=x+2−2x=2−xx*2=x+2-2x=2-x; apoi x∗(2−x)=1⇒x+2−x−x(2−x)=1⇒2−2x+x2=1⇒x2−2x+1=0⇒(x−1)2=0x*(2-x)=1 \Rightarrow x+2-x-x(2-x)=1 \Rightarrow 2-2x+x^2=1 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0, deci x=1x=1, dar x∈R∖{1}x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}, așadar ecuația nu are soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.