MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea A=R∖{1}A = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. a) Demonstrați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Arătați că orice element din AA este simetrizabil și determinați simetricul său. d) Rezolvați ecuația a∘x=ba \circ x = b în AA, unde a,b∈Aa, b \in A.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați (x∘y)∘z=(xy−x−y+2)∘z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z.Similar,(x \circ y) \circ z = (xy - x - y + 2) \circ z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Similar, x \circ (y \circ z) = x \circ (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Deci (x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z), deci legea este asociativă.
22 puncte
Căutăm ee astfel încât e∘x=xe \circ x = x pentru orice x∈Ax \in A. e∘x=ex−e−x+2=x⇒ex−e+2=2x⇒e(x−1)=2(x−1)e \circ x = ex - e - x + 2 = x \Rightarrow ex - e + 2 = 2x \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, avem e=2e = 2. Verificăm: 2∘x=2x−2−x+2=x2 \circ x = 2x - 2 - x + 2 = x, deci elementul neutru este e=2e = 2.
32 puncte
Pentru x∈Ax \in A, căutăm yy astfel încât x∘y=2x \circ y = 2. x∘y=xy−x−y+2=2⇒xy−x−y=0⇒y(x−1)=x⇒y=xx−1x \circ y = xy - x - y + 2 = 2 \Rightarrow xy - x - y = 0 \Rightarrow y(x-1) = x \Rightarrow y = \frac{x}{x-1}, care există deoarece x≠1x \neq 1. Deci simetricul lui xx este x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}.
43 puncte
Rezolvăm a∘x=ba \circ x = b, cu a,b∈Aa, b \in A. a∘x=ax−a−x+2=b⇒ax−x=b+a−2⇒x(a−1)=b+a−2⇒x=b+a−2a−1a \circ x = ax - a - x + 2 = b \Rightarrow ax - x = b + a - 2 \Rightarrow x(a-1) = b + a - 2 \Rightarrow x = \frac{b + a - 2}{a-1}, care este în AA dacă a≠1a \neq 1 (garantat de a∈Aa \in A) și x≠1x \neq 1 (se verifică separat).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.