MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul I
Considerăm mulțimea M={f:R→R∣f(x)=ax+b,a,b∈R,a≠0}M = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax + b, a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și legea de compoziție ∘\circ definită prin compunerea funcțiilor. Demonstrați că: a) (M,∘)(M, \circ) este un grup. b) Determinați subgrupul format din funcțiile f(x)=x+bf(x) = x + b, unde b∈Rb \in \mathbb{R}. c) Rezolvați în MM ecuația f∘g=hf \circ g = h, unde h(x)=2x+3h(x) = 2x + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Asociativitatea: compunerea funcțiilor este asociativă. Elementul neutru: funcția identitate id(x)=xid(x) = x aparține lui MM (cu a=1,b=0a=1, b=0) și f∘id=id∘f=ff \circ id = id \circ f = f pentru orice f∈Mf \in M. Inversa: pentru f(x)=ax+bf(x)=ax+b cu a≠0a\neq0, inversa este f−1(x)=1ax−baf^{-1}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}, care aparține lui MM și verifică f∘f−1=f−1∘f=idf \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id.
23 puncte
Fie H={f∈M∣f(x)=x+b,b∈R}H = \{ f \in M \mid f(x) = x + b, b \in \mathbb{R} \}. HH este nevidă (exemplu: b=0b=0). Închidere la compunere: pentru f(x)=x+bf(x)=x+b și g(x)=x+cg(x)=x+c din HH, avem f∘g(x)=x+(b+c)∈Hf \circ g (x) = x + (b+c) \in H. Închidere la inversă: inversa lui f(x)=x+bf(x)=x+b este f−1(x)=x−b∈Hf^{-1}(x)=x-b \in H. Astfel, HH este subgrup.
33 puncte
Fie f(x)=a1x+b1f(x)=a_1 x + b_1 și g(x)=a2x+b2g(x)=a_2 x + b_2 din MM. Atunci f∘g(x)=a1(a2x+b2)+b1=a1a2x+(a1b2+b1)f \circ g (x) = a_1(a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + (a_1 b_2 + b_1). Punem egal cu h(x)=2x+3h(x)=2x+3, deci obținem sistemul {a1a2=2a1b2+b1=3\begin{cases} a_1 a_2 = 2 \\ a_1 b_2 + b_1 = 3 \end{cases}. Soluțiile sunt toate perechile (f,g)(f,g) cu a1,a2≠0a_1, a_2 \neq 0 care satisfac aceste ecuații, de exemplu a1=2,a2=1,b1=1,b2=1a_1=2, a_2=1, b_1=1, b_2=1 dă f(x)=2x+1f(x)=2x+1, g(x)=x+1g(x)=x+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.