MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ∗* pe mulțimea numerelor naturale N\mathbb{N} (inclusiv zero) definită prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab. Demonstrați că (N,∗)(\mathbb{N}, *) este un monoid și determinați elementele inversabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea asociativității: pentru orice a,b,c∈Na,b,c \in \mathbb{N}, calculăm (a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+ab+c+ac+bc+abc=a+b+c+ab+ac+bc+abc(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + ab + c + ac + bc + abc = a + b + c + ab + ac + bc + abc. Similar, a∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc=a+b+c+ab+ac+bc+abca * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc = a + b + c + ab + ac + bc + abc. Deci (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c), legea este asociativă.
23 puncte
Găsirea elementului neutru: presupunem că există e∈Ne \in \mathbb{N} astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Na \in \mathbb{N}. Atunci a+e+ae=aa + e + ae = a, deci e(1+a)=0e(1 + a) = 0. Deoarece a∈Na \in \mathbb{N}, 1+a>01+a > 0, rezultă e=0e = 0. Verificăm: a∗0=a+0+a⋅0=aa * 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a și 0∗a=0+a+0⋅a=a0 * a = 0 + a + 0 \cdot a = a, deci 00 este elementul neutru.
33 puncte
Determinarea elementelor inversabile: un element a∈Na \in \mathbb{N} este inversabil dacă există b∈Nb \in \mathbb{N} astfel încât a∗b=0a * b = 0 (elementul neutru). Atunci a+b+ab=0a + b + ab = 0, deci b(1+a)=−ab(1 + a) = -a. Deoarece a,b∈Na,b \in \mathbb{N}, a,b≥0a,b \geq 0, ecuația are soluție doar dacă a=0a = 0 și b=0b = 0. Verificăm: 0∗0=0+0+0⋅0=00 * 0 = 0 + 0 + 0 \cdot 0 = 0, deci singurul element inversabil este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.