MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieLogaritmiDerivate
Pe mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xy+ln⁡(xy)x \circ y = \sqrt{xy} + \ln(xy). a) Studiați dacă legea este comutativă și asociativă. b) Rezolvați ecuația x∘x=2x \circ x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Comutativitatea: x∘y=xy+ln⁡(xy)=yx+ln⁡(yx)=y∘xx \circ y = \sqrt{xy} + \ln(xy) = \sqrt{yx} + \ln(yx) = y \circ x, deci legea este comutativă.\n
24 puncte
Asociativitatea: Calculăm (x∘y)∘z=(xy+ln⁡(xy))∘z=(xy+ln⁡(xy))z+ln⁡((xy+ln⁡(xy))z)(x \circ y) \circ z = (\sqrt{xy} + \ln(xy)) \circ z = \sqrt{(\sqrt{xy} + \ln(xy))z} + \ln((\sqrt{xy} + \ln(xy))z) și x∘(y∘z)=x∘(yz+ln⁡(yz))=x(yz+ln⁡(yz))+ln⁡(x(yz+ln⁡(yz)))x \circ (y \circ z) = x \circ (\sqrt{yz} + \ln(yz)) = \sqrt{x(\sqrt{yz} + \ln(yz))} + \ln(x(\sqrt{yz} + \ln(yz))). Aceste expresii nu sunt egale în general; de exemplu, pentru x=y=z=1x=y=z=1, (1∘1)∘1=(1+0)∘1=1∘1=1(1 \circ 1) \circ 1 = (1+0) \circ 1 = 1 \circ 1 = 1, iar 1∘(1∘1)=1∘1=11 \circ (1 \circ 1) = 1 \circ 1 = 1, dar pentru x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3, se poate verifica că nu sunt egale, deci legea nu este asociativă.\n
34 puncte
Ecuația x∘x=2x \circ x = 2: Avem x⋅x+ln⁡(x⋅x)=x2+ln⁡(x2)\sqrt{x \cdot x} + \ln(x \cdot x) = \sqrt{x^2} + \ln(x^2). Deoarece x>0x>0, x2=x\sqrt{x^2} = x, deci ecuația devine x+2ln⁡x=2x + 2\ln x = 2. Considerăm funcția f(x)=x+2ln⁡xf(x) = x + 2\ln x pe (0,∞)(0, \infty); aceasta este strict crescătoare (derivata f′(x)=1+2x>0f'(x) = 1 + \frac{2}{x} > 0), f(1)=1f(1)=1 și lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, deci există o soluție unică x0∈(1,∞)x_0 \in (1, \infty) astfel încât f(x0)=2f(x_0)=2. Prin metode numerice sau observând că f(2)=2+2ln⁡2≈2+1.386=3.386>2f(2)=2+2\ln2 \approx 2+1.386=3.386>2 și f(1.5)=1.5+2ln⁡1.5≈1.5+0.811=2.311>2f(1.5)=1.5+2\ln1.5 \approx 1.5+0.811=2.311>2, se poate aproxima soluția; de exemplu, x0≈1.4x_0 \approx 1.4 (verificare: f(1.4)≈1.4+2ln⁡1.4≈1.4+0.672=2.072f(1.4)\approx1.4+2\ln1.4\approx1.4+0.672=2.072). Soluția exactă nu este elementară, dar existența și unicitatea sunt demonstrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.