MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația ⋆\star definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x⋆y=x+y−xyx \star y = x + y - xy. Studiați proprietățile acestei operații: comutativitatea, asociativitatea, existența elementului neutru și a elementelor simetrizabile. Dacă există, determinați elementul neutru și simetricul unui element a∈Ra \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verific comutativitatea: x⋆y=x+y−xy=y+x−yx=y⋆xx \star y = x + y - xy = y + x - yx = y \star x, deci operația este comutativă.
23 puncte
Verific asociativitatea: (x⋆y)⋆z=(x+y−xy)⋆z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \star y) \star z = (x + y - xy) \star z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz; x⋆(y⋆z)=x⋆(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx \star (y \star z) = x \star (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz. Ambele expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Găsesc elementul neutru ee: Din x⋆e=xx \star e = x, rezultă x+e−xe=xx + e - xe = x, deci e−xe=0e - xe = 0, e(1−x)=0e(1 - x) = 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Aceasta este adevărată dacă e=0e = 0; verific: x⋆0=x+0−x⋅0=xx \star 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x și 0⋆x=0+x−0⋅x=x0 \star x = 0 + x - 0 \cdot x = x, deci elementul neutru este 00.
43 puncte
Determin elementele simetrizabile: Pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, simetricul a′a' satisface a⋆a′=0a \star a' = 0, adică a+a′−aa′=0a + a' - a a' = 0. Rezultă a′(1−a)=−aa'(1 - a) = -a. Dacă a≠1a \neq 1, atunci a′=−a1−a=aa−1a' = \frac{-a}{1-a} = \frac{a}{a-1}. Dacă a=1a = 1, ecuația devine 1+a′−a′=01 + a' - a' = 0, adică 1=01 = 0, imposibil, deci a=1a = 1 nu este simetrizabil. Astfel, elementele simetrizabile sunt R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}, iar simetricul lui aa este aa−1\frac{a}{a-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.