MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie operația ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați constantele a,b,ca, b, c astfel încât operația să fie asociativă și să admită element neutru. Apoi, pentru valorile găsite, determinați elementul simetrizabil al lui 22 față de această operație.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. Calculăm (x∗y)∗z=(xy+ax+by+c)z+a(xy+ax+by+c)+bz+c(x * y) * z = (xy + ax + by + c)z + a(xy + ax + by + c) + bz + c și x∗(y∗z)=x(yz+ay+bz+c)+ax+b(yz+ay+bz+c)+cx * (y * z) = x(yz + ay + bz + c) + ax + b(yz + ay + bz + c) + c. Egalăm expresiile și obținem, după simplificări, condițiile: a=ba = b și c=a2−ac = a^2 - a.
23 puncte
Condiția pentru element neutru: există e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x∗e=xx * e = x și e∗x=xe * x = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Din x∗e=xx * e = x, avem xe+ax+be+c=xxe + ax + be + c = x, de unde (e+a−1)x+(be+c)=0(e + a - 1)x + (be + c) = 0 pentru orice xx, deci e+a−1=0e + a - 1 = 0 și be+c=0be + c = 0. Din e∗x=xe * x = x, avem ex+ae+bx+c=xex + ae + bx + c = x, de unde (e+b−1)x+(ae+c)=0(e + b - 1)x + (ae + c) = 0, deci e+b−1=0e + b - 1 = 0 și ae+c=0ae + c = 0.
32 puncte
Combinăm condițiile: din a=ba = b (de la asociativitate) și e+a−1=0e + a - 1 = 0, e+b−1=0e + b - 1 = 0, obținem e=1−ae = 1 - a. Înlocuind în ae+c=0ae + c = 0 și folosind c=a2−ac = a^2 - a, avem a(1−a)+(a2−a)=0a(1 - a) + (a^2 - a) = 0, care este identic satisfăcut. Alegem o soluție particulară, de exemplu a=0a = 0, atunci b=0b = 0, c=0c = 0, și e=1e = 1. Verificăm: pentru a=b=c=0a = b = c = 0, operația devine x∗y=xyx * y = xy, care este asociativă și are element neutru 11.
42 puncte
Pentru a=b=c=0a = b = c = 0, operația este x∗y=xyx * y = xy. Elementul neutru este e=1e = 1. Elementul simetrizabil al lui 22 este x′x' astfel încât 2∗x′=12 * x' = 1, adică 2x′=12x' = 1, deci x′=12x' = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.