Fie operația binară * definită pe mulțimea numerelor re... — Rezolvare

MediuLegi de compoziție

Fie operația binară * definită pe mulțimea numerelor reale ℝ prin a * b = a + b - ab. Verificați dacă operația este comutativă și asociativă. Determinați elementul neutru, dacă există. Pentru fiecare a \in ℝ, determinați elementul simetric, dacă există. Rezolvați ecuația x * (2 * x) = 3.

10 puncte · 5 pași

12 puncte

Verificăm comutativitatea: a * b = a + b - ab, b * a = b + a - ba = a + b - ab, deci operația este comutativă.

23 puncte

Verificăm asociativitatea: (a * b) * c = (a + b - ab) * c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c = a + b + c - ab - ac - bc + abc. a * (b * c) = a * (b + c - bc) = a + (b + c - bc) - a(b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc. Comparând, observăm că (a * b) * c = a * (b * c), deci operația este asociativă.

32 puncte

Căutăm elementul neutru e astfel încât a * e = a pentru orice a. a * e = a + e - ae = a \Rightarrow e - ae = 0 \Rightarrow e(1 - a) = 0 pentru orice a, deci e = 0. Verificăm: a * 0 = a + 0 - a\cdot0 = a, și 0 * a = 0 + a - 0\cdota = a, deci elementul neutru este 0.

42 puncte

Pentru a \in ℝ, căutăm a' astfel încât a * a' = 0. a * a' = a + a' - aa' = 0 \Rightarrow a' (1 - a) = -a. Dacă a \neq 1, atunci a' = -a/(1 - a). Dacă a = 1, atunci ecuația devine 1 + a' - a' = 1 = 0, imposibil, deci pentru a = 1 nu există element simetric.

51 punct

Rezolvăm ecuația x * (2 * x) = 3. Mai întâi calculăm 2 * x = 2 + x - 2x = 2 - x. Apoi x * (2 - x) = x + (2 - x) - x(2 - x) = 2 - 2x + x^2. Ecuația devine x^2 - 2x + 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0. Rezolvând, x = 1 \pm \sqrt2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Problemă rezolvată de Legi de compoziție