MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{−1}M = \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} definim legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xy−1x+y+2x \circ y = \frac{xy - 1}{x + y + 2}. Să se verifice dacă ∘\circ este asociativă, să se determine elementul neutru și elementele inversabile, și apoi să se rezolve ecuația (x∘2)∘3=4(x \circ 2) \circ 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea asociativității. Calculăm (x∘y)∘z=xy−1x+y+2⋅z−1xy−1x+y+2+z+2(x \circ y) \circ z = \frac{\frac{xy - 1}{x + y + 2} \cdot z - 1}{\frac{xy - 1}{x + y + 2} + z + 2} și x∘(y∘z)=x⋅yz−1y+z+2−1x+yz−1y+z+2+2x \circ (y \circ z) = \frac{x \cdot \frac{yz - 1}{y + z + 2} - 1}{x + \frac{yz - 1}{y + z + 2} + 2}, simplificăm și arătăm egalitatea pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M.
23 puncte
Determinarea elementului neutru. Căutăm e∈Me \in M astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Mx \in M, rezolvând ecuația xe−1x+e+2=x\frac{xe - 1}{x + e + 2} = x, care dă e=1e = 1 (verificând și e∘x=xe \circ x = x).
32 puncte
Determinarea elementelor inversabile. Pentru un x∈Mx \in M, căutăm x′x' astfel încât x∘x′=1x \circ x' = 1, adică xx′−1x+x′+2=1\frac{xx' - 1}{x + x' + 2} = 1, rezolvând obținem x′=1−2xx−1x' = \frac{1 - 2x}{x - 1} pentru x≠1x \neq 1 (elementele inversabile sunt M∖{1}M \setminus \{1\}).
42 puncte
Rezolvarea ecuației. Calculăm x∘2=2x−1x+4x \circ 2 = \frac{2x - 1}{x + 4}, apoi (x∘2)∘3=3⋅2x−1x+4−12x−1x+4+5=4(x \circ 2) \circ 3 = \frac{3 \cdot \frac{2x - 1}{x + 4} - 1}{\frac{2x - 1}{x + 4} + 5} = 4, simplificăm și rezolvăm, obținând x=−2x = -2 sau x=3x = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.