MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriNumere Complexe
Pe mulțimea R2\mathbb{R}^2 definim legea de compoziție ∗* prin (a,b)∗(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)*(c,d) = (ac - bd, ad + bc). a) Arătați că ∗* este asociativă și comutativă. b) Identificați elementul neutru și demonstrați că orice element diferit de (0,0)(0,0) este simetrizabil. c) Considerând R2\mathbb{R}^2 cu această lege, rezolvați sistemul: {(x,y)∗(2,1)=(3,4)(1,0)∗(x,y)=(x,y)\begin{cases} (x,y)*(2,1) = (3,4) \\ (1,0)*(x,y) = (x,y) \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Comutativitatea: (a,b)∗(c,d)=(ac−bd,ad+bc)=(ca−db,da+cb)=(c,d)∗(a,b)(a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) = (ca-db, da+cb) = (c,d)*(a,b). Asociativitatea: calculăm ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac−bd,ad+bc)∗(e,f)=((ac−bd)e−(ad+bc)f,(ac−bd)f+(ad+bc)e)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac-bd, ad+bc)*(e,f) = ((ac-bd)e - (ad+bc)f, (ac-bd)f + (ad+bc)e) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce−df,cf+de)=(a(ce−df)−b(cf+de),a(cf+de)+b(ce−df))(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce-df, cf+de) = (a(ce-df) - b(cf+de), a(cf+de) + b(ce-df)), simplificăm și arătăm că sunt egale.
22 puncte
Elementul neutru este (1,0)(1,0) deoarece (a,b)∗(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a,b)*(1,0) = (a\cdot1 - b\cdot0, a\cdot0 + b\cdot1) = (a,b).
32 puncte
Pentru (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0), simetricul (a′,b′)(a',b') satisface (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b)*(a',b') = (1,0), adică (aa′−bb′,ab′+ba′)=(1,0)(aa' - bb', ab' + ba') = (1,0). Rezolvăm sistemul liniar, obținem a′=aa2+b2a' = \frac{a}{a^2+b^2}, b′=−ba2+b2b' = \frac{-b}{a^2+b^2}, care există pentru (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0).
43 puncte
Din sistem, prima ecuație: (x,y)∗(2,1)=(2x−y,x+2y)=(3,4)(x,y)*(2,1) = (2x - y, x+2y) = (3,4), deci 2x−y=32x - y = 3 și x+2y=4x+2y = 4. A doua ecuație: (1,0)∗(x,y)=(x,y)(1,0)*(x,y) = (x,y) este adevărată datorită elementului neutru, deci nu impune condiții suplimentare. Rezolvăm sistemul liniar și obținem x=2x=2, y=1y=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.