MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Rezolvați ecuația (1,1)⋅z2=(1,7)(1,1) \cdot z^2 = (1,7).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți ecuația în formă complexă: (1+i)⋅z2=1+7i(1 + i) \cdot z^2 = 1 + 7i.
22 puncte
Izolați z2z^2: z2=1+7i1+iz^2 = \frac{1 + 7i}{1 + i}.
33 puncte
Calculați 1+7i1+i\frac{1 + 7i}{1 + i}: Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului, 1−i1 - i: (1+7i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−i+7i−7i21−i2\frac{(1 + 7i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + 7i - 7i^2}{1 - i^2}. Cum i2=−1i^2 = -1, obținem 1+6i+71+1=8+6i2=4+3i\frac{1 + 6i + 7}{1 + 1} = \frac{8 + 6i}{2} = 4 + 3i, deci z2=4+3iz^2 = 4 + 3i.
43 puncte
Rezolvați z2=4+3iz^2 = 4 + 3i: Fie z=x+iyz = x + iy, atunci z2=x2−y2+i(2xy)=4+3iz^2 = x^2 - y^2 + i(2xy) = 4 + 3i, de unde sistemul x2−y2=4x^2 - y^2 = 4 și 2xy=32xy = 3. Rezolvând, de exemplu din 2xy=32xy = 3 avem xy=32xy = \frac{3}{2} și substituind, găsim x2=52x^2 = \frac{5}{2} și y2=32y^2 = \frac{3}{2}, deci z=±(52+i32)z = \pm \left( \sqrt{\frac{5}{2}} + i\sqrt{\frac{3}{2}} \right) sau z=±(102+i62)z = \pm \left( \frac{\sqrt{10}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.