MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrie
Găsiți toate numerele întregi pozitive n astfel încât (−1+i32)n+(−1−i32)n=2\left( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^n + \left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^n = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm că −1+i32\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} și −1−i32\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} sunt rădăcinile cubice ale unității, cu ω3=1\omega^3 = 1.
23 puncte
Notăm ω=−1+i32\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, deci ωˉ=−1−i32\bar{\omega} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}. Ecuația devine ωn+ωˉn=2\omega^n + \bar{\omega}^n = 2.
33 puncte
Deoarece ω\omega și ωˉ\bar{\omega} sunt conjugate, ωn+ωˉn=2Re⁡(ωn)\omega^n + \bar{\omega}^n = 2 \operatorname{Re}(\omega^n). Dar ω=ei2π/3\omega = e^{i2\pi/3}, deci ωn=ei2πn/3\omega^n = e^{i2\pi n/3}.
42 puncte
Atunci Re⁡(ωn)=cos⁡(2πn/3)\operatorname{Re}(\omega^n) = \cos(2\pi n/3). Ecuația devine 2cos⁡(2πn/3)=22\cos(2\pi n/3) = 2, deci cos⁡(2πn/3)=1\cos(2\pi n/3) = 1. Aceasta implică 2πn/3=2kπ2\pi n/3 = 2k\pi pentru k întreg, deci n multiplu de 3. Numerele întregi pozitive n sunt multipli de 3: n = 3, 6, 9, ... Verificare: pentru n=3, ω3=1\omega^3=1, deci 1+1=21+1=2, corect. În general, pentru n=3k, ωn=1\omega^n=1, deci suma este 2. Deci toate n multiple de 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.